Exercícios Resolvidos de Introdução

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Enunciado

Sabendo que a Transformada de Laplace de uma função F t   ( t > 0 ) denotada aqui por L F t é definida por:

Considere f t definida para 0 ≤ t ≤ ∞ . A transformada de   f t é dada pela fórmula

  L F t =   f s = ∫ 0 ∞ F t e - s t d t

E usando a linearidade do operador em questão, determine a Transformada de Laplace da função elementar F t = 3 e 5 t + 2 t 3 + 5

Passo 1

Fala aiiii!! Essa questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:

F t = 3 e 5 t + 2 t 3 + 5

Então, vamos substituir na fórmula da transformada que foi dada no enunciado:

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = ∫ 0 ∞ 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 e - s t d t

= ∫ 0 ∞ 3 e 5 t e - s t d t + ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t + ∫ 0 ∞ 5 e - s t d t

Agora vamos resolver separadamente cada integral, beleza? Show!

Passo 2

Para a primeira integral:

∫ 0 ∞ 3 e 5 t e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ ∫ 0 k 3 e 5 t e - s t d t

∫ 0 ∞ 3 e 5 t e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 t e - s t 5 - s 0 k

= lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 - s k 5 - s - 1 5 - s

Aqui nós vamos ter dois casos.

Para s < 5 , o limite tende a infinito.

lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 - s k 5 - s - 1 5 - s = ∞ - 1 5 - s = ∞

Para s > 5 , temos:

lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 - s k 5 - s - 1 5 - s = 3 s - 5

Passo 3

Para a segunda:

∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t

Nessa integral, teremos que fazer integração por parte três vezes e chegaremos a:

lim k → ∞ ⁡ ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ 2 s 4 - s 3 e - s t t 3 - 3 s 2 t 2 e - s t - 6 t e - s t - 6 e - s t 0 k  

= lim k → ∞ ⁡ 2 s 4 [ - s 3 e - s k k 3 - 3 s 2 k 2 e - s k - 6 k e - s k - 6 e - s k - ( - s 3 e - s . 0 0 3 - 3 s 2 0 2 e - s . 0 - 6.0 . e - s . 0 - 6 e - s . 0 )

lim k → ∞ ⁡ 2 s 4 - s 3 e - s k k 3 - 3 s 2 k 2 e - s k - 6 k e - s k - 6 e - s k + 6

Aplicando o limite, chegaremos a:

∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t = 2 s 4 6

= 12 s 4

Passo 4

E na terceira e última integral:

∫ 0 ∞ 5 e - s t d t = 5 ∫ 0 ∞ e - s t d t = 5 - e - s t s 0 ∞

= 5 - e - s ∞ s - - e - s . 0 s = 5 0 + 1 s

= 5 s

Agora que já calculamos a transformada de Laplace de cada termo, podemos substituir na expressão.

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = 3 s - 5 + 12 s 4 + 5 s

Resposta

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = 3 s - 5 + 12 s 4 + 5 s