Exercícios Resolvidos de Lei de Biot-Savart

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Enunciado

Uma bobina chata de n = 10   e s p i r a s e raio r = 10   c m é percorrida por uma corrente igual a i = 7 A , caso deseje substituir por um solenóide que gere o mesmo campo, tenha o mesmo número de espiras, o mesmo raio e a mesma corrente, qual deve ser o comprimento dele?

Considere π = 3 .

Passo 1

Vamos começar pelo cálculo do módulo da intensidade do campo magnético inicia da bobina:

B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

Os dados que temos sobre essa bobina são:

n = 10   e s p i r a s

r = 10 c m

Como estamos em centímetros, precisamos passar para metros! Basta apenas dividir o número por 100 :

r = 10 c m = 10 100 m = 0,1 m

Outras informações dadas são que:

i = 7 A

E a permeabilidade magnética do vácuo sempre será:

μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 T ⋅ m / A

Passo 2

Substituindo esses valores na fórmula:

B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

Teremos:

B b o b i n a → = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 7 ⋅ 10 2 ⋅ 0,1

Outra informação dada no enunciado é que podemos utilizar π = 3 :

B b o b i n a → = 4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 7 ⋅ 10 2 ⋅ 0,1

Logo a multiplicação no numerador será:

4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 7 ⋅ 10 = 840

Enquanto a multiplicação no denominador será:

2 ⋅ 0,1 = 0,2

Voltando para fórmula:

B b o b i n a → = 840 ⋅ 10 - 7 0 , 2

Dividindo 840 por 0,2 :

B b o b i n a → = 840 ⋅ 10 - 7 0,2 = 4200 ⋅ 10 - 7   T

Encontramos o módulo da intensidade do campo magnético para a bobina!

Passo 3

Mas como o enunciado deseja manter o mesmo valor para a intensidade do campo magnético gerado pelo solenóide:

B s o l e n o i d e → = B b o b i n a → = 4200 ⋅ 10 - 7 T  

Mas como se calcula mesmo a intensidade do campo magnético do solenoide? É assim:

B s o l e n o i d e → = μ 0 ⋅ i ⋅ n L

Então podemos igualar a fórmula ao valor que já encontramos:

B s o l e n o i d e → = μ 0 ⋅ i ⋅ n L = 4200 ⋅ 10 - 7 T

Passo 4

Os dados que temos do solenóide são:

n = 10   e s p i r a s

i = 7 A

E sabendo que a permeabilidade magnética do vácuo se mantém:

μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 T ⋅ m / A

Podemos substituir na igualdade:

B s o l e n o i d e → = μ 0 ⋅ i ⋅ n L = 4200 ⋅ 10 - 7 T

Teremos então:

B s o l e n o i d e → = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 7 ⋅ 10 L = 4200 ⋅ 10 - 7 T

Substituindo π = 3 , teremos:

B s o l e n o i d e → = 4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 7 ⋅ 10 L = 4200 ⋅ 10 - 7 T

Passo 5

Para descobrir o comprimento L , precisamos isolar ele de um lado só da igualdade, então passaremos ele para o outro lado multiplicando:

4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 7 ⋅ 10 L = 4200 ⋅ 10 - 7

4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 7 ⋅ 10 1 = 4200 ⋅ 10 - 7 ⋅ L

Passaremos a parcela que multiplica L para o outro lado dividindo:

4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 7 ⋅ 10 4200 ⋅ 10 - 7 = L

O produto no numerador é igual a:

4 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 10 = 840

Substituindo:

L = 840 ⋅ 10 - 7 4200 ⋅ 10 - 7

Como temos 10 - 7 tanto no numerador quanto no denominador e ambos fazendo parte de produtos, podemos cortar:

L = 840 ⋅ 10 - 7 4200 ⋅ 10 - 7 = 840 4200

Essa divisão é igual a:

L = 0,2 m

Que valor maravilhoso é esse, senhor? E não esquece da unidade!

Resposta

L = 0,2 m