Exercícios Resolvidos de Lei de Biot-Savart

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Enunciado

Dada uma bobina chata de n = 5   e s p i r a s e corrente circulando igual a i = 6 A :

  1. Qual deve ser o raio R dessa espira caso deseje encontrar o módulo da intensidade de campo magnético igual a B → = 3   T no centro da bobina.
  2. Se reduzirmos a corrente pela metade e desejarmos manter o mesmo módulo de intensidade de campo magnético, qual deve ser o novo raio?

Considere π = 3 .

Passo 1

Como estamos sempre falando de uma bobina chata, vamos relembrar como calculamos o módulo da intensidade do campo magnético:

B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

Logo, temos o produto da permeabilidade magnética do vácuo, corrente e número de espiras, dividido pelo dobro do raio da bobina.

Passo 2

Para começar a fazer a letra “a”, vamos levantar os dados que já temos:

μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 T ⋅ m / A

i = 6   A

n = 5   e s p i r a s

B → = 3   T

Como todas as unidades estão de acordo com as unidades da fórmula, podemos prosseguir e substituir os valores na fórmula:

B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

Teremos então:

3 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ r

Passo 3

Para resolver e encontrar r , vamos passar todos os números para um lado só da igualdade:

3 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ r

Começaremos passando o r para o outro lado multiplicando:

3 ⋅ r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2

Como não queremos aquele 3 multiplicando o raio, vamos passar para o outro lado da igualdade, ele irá para o outro lado dividindo:

r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ 3

Percebe que como já havia o 2 dividindo todo o numerador da fração, o 3 agora passou a ajudar nessa divisão, então ele multiplica o 2 .

Considerando π = 3 :

r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ 3

O produto no numerador será:

4 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 5 = 360

Logo:

r = 360 ⋅ 10 - 7 2 ⋅ 3

Enquanto o produto no denominador será:

2 ⋅ 3 = 6

Logo:

r = 360 ⋅ 10 - 7 6

Dividindo 360 por 6 :

r = 360 6 ⋅ 10 - 7 = 60 ⋅ 10 - 7 m

Passo 4

Percebe que ficou meio esquisito esse número, podemos deixar ele com uma cara mais bonita se movimentarmos a vírgula e colocarmos um prefixo na unidade, ao invés daquela potência de 10 .

Começando pela vírgula, quando a vírgula não é escrita, secretamente ela está depois do último dígito. Nesse caso, a vírgula estaria depois do 0 do 60 . Precisamos passar ela para depois do 6 , mas temos que fazer isso dentro da legalidade matemática, beleza?

Uma dica para mover a vírgula é a seguinte:

  • Quero mover a vírgula N casas para a esquerda Tenho que somar N no expoente do 10 .
  • Quero mover a vírgula N casas para a direita Tenho que subtrair N no expoente do 10 .
  • Onde o N pode ser qualquer número de casas que você queira andar com a vírgula. No nosso caso, precisamos andar 1 casas para a esquerda, então temos que somar 1 no expoente do 10 , sacou?

    Então o expoente do 10 será - 7 + 1 = - 6  

    r = 60 ⋅ 10 - 7 = 6,0 ⋅ 10 - 6 m

    Você lembra que números multiplicados por 10 - 6 terão o prefixo micro " μ " ? Então veja:

    r = 6,0 ⋅ 10 - 6 m = 6,0   μ m

    É um raio minúsculo, tadinho. Vamos para a letra “b”!

    Passo 5

    Na letra “b”, o enunciado nos disse que reduziremos a corrente pela metade, ou seja, a nova corrente será:

    i = 6 2 = 3 A

    Mas os outros dados da bobina irão se manter os mesmos:

    μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 T ⋅ m / A

    n = 5   e s p i r a s

    B → = 3   T

    Inclusive a intensidade do campo magnético!

    Precisamos aplicar na fórmula tudo de novo, como fizemos na letra “a”, mas agora com esse novo valor da corrente:

    B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

    Teremos então:

    3 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ r

    Passo 6

    Para resolver e encontrar r , vamos passar todos os números para um lado só da igualdade:

    3 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ r

    Começaremos passando o r para o outro lado multiplicando:

    3 ⋅ r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2

    Como não queremos aquele 3 multiplicando o raio, vamos passar para o outro lado da igualdade, ele irá para o outro lado dividindo:

    r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3

    Percebe que como já havia o 2 dividindo todo o numerador da fração, o 3 agora passou a ajudar nessa divisão, então ele multiplica o 2 .

    Considerando π = 3 :

    r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3

    O produto no numerador será:

    4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 180

    Logo:

    r = 18 0 ⋅ 10 - 7 2 ⋅ 3

    Enquanto o produto no denominador será:

    2 ⋅ 3 = 6

    Logo:

    r = 18 0 ⋅ 10 - 7 6

    Dividindo 18 0 por 6 :

    r = 360 6 ⋅ 10 - 7 = 3 0 ⋅ 10 - 7 m

    Fazendo o mesmo processo de mudar a vírgula de lugar!

    Passo 7

    Quando a vírgula não é escrita, secretamente ela está depois do último dígito. Nesse caso, a vírgula estaria depois do 0 do 60 . Precisamos passar ela para depois do 6 , mas temos que fazer isso dentro da legalidade matemática, beleza?

    Uma dica para mover a vírgula é a seguinte:

  • Quero mover a vírgula N casas para a esquerda Tenho que somar N no expoente do 10 .
  • Quero mover a vírgula N casas para a direita Tenho que subtrair N no expoente do 10 .

Onde o N pode ser qualquer número de casas que você queira andar com a vírgula. No nosso caso, precisamos andar 1 casas para a esquerda, então temos que somar 1 no expoente do 10 , sacou?

Então o expoente do 10 será - 7 + 1 = - 6  

r = 3 0 ⋅ 10 - 7 = 3 , 0 ⋅ 10 - 6 m

Você lembra que números multiplicados por 10 - 6 terão o prefixo micro " μ " ? Então veja:

r = 3 , 0 ⋅ 10 - 6 m = 3 , 0   μ m

Ou seja, a corrente diminuiu e o raio também diminuiu para compensar e gerar o mesmo campo magnético!

Resposta

  1. r = 6,0   μ m
  2. r =   3,0   μ m