Introdução à Dinâmica de Corpos Rígidos
Produzido por Pablo RicardoTeoria
Introdução
Até agora estudamos o movimento de corpos rígidos sem nos preocuparmos com o que causa esses movimentos.
Carros de corrida, por exemplo, são submetidos a forças muito intensas quando ele começa a acelerar:
Essas forças precisam ser calculadas e levadas em consideração quando se projeta a estrutura deste tipo de carro.
Porém, quando levamos em consideração o tamanho e a forma de um corpo, surgem forças que podem provocar translação e rotação.
Então, a partir de agora vamos estudar as consequências disso para o movimento do corpo. Mas será que o nosso corpo aceita de boa ser rotacionado por uma força?
Para responder esta pergunta vamos estudar o que chamamos de momento de inércia!!!
Momento de Inércia
O momento de inércia () é uma grandeza que mede a resistência de um corpo a sofrer uma rotação. Ou seja, quanto maior o momento de inércia mais difícil será girar o corpo. Para calcular, passamos um eixo pelo centro de gravidade do um corpo e calculamos o momento que cada pedacinho de massa () deste corpo faz com relação ao eixo:
O momento de inércia vai ser calculado pela seguinte integral:
Repare que é o braço de alavanca do momento. A unidade do momento de inércia é .
Atenção: esta fórmula é válida para calcular o momento de inércia com relação a um eixo que passe pelo centro de gravidade.
Se derivarmos ambos os lados da equação do momento de inércia, temos:
Essa equação também nos será útil!!!
Se um corpo possuir densidade () variável, cada pedacinho de massa () do corpo vai ter:
Ou seja, cada pedacinho de massa do corpo vai poder ser representado em função da densidade () e do volume () do corpo. Assim, ficamos com a seguinte integral:
Quando a densidade for constante, podemos tirar da integral e teremos que o momento de inércia vai depender da geometria do corpo:
Como estamos tratando de corpos tridimensionais, o volume vai depender da dimensão , e de cada um daqueles pedacinhos:
Opa, teríamos então uma integral tripla!!!
Calma! Vamos ver maneiras de usar integral simples para resolver problemas que tenham corpos simétricos.
- Casca Elementar: neste método você tem que criar uma casca de espessura infinitesimal , raio e altura :
- Disco Elementar: neste método vamos fazer um disco com raio e espessura infinitesimal :
Então, vamos ter que o volume será:
Agora é só substituir isso na integral:
Observe que o raio e a espessura mudam conforme o eixo que a corpo está!!!
Neste método, o volume fica:
Mas não podemos substituir isso direto na integral. Antes temos que calcular o momento de inércia somente do disco que criamos.
Repare que o disco que criamos é um cilindro com uma espessura beeem pequena, certo? Então, o momento de inércia do disco que criamos vai ser sempre igual ao momento de inércia de um cilindro ao longo de um eixo longitudinal (o eixo que percorre a maior dimensão do corpo):
O momento de inércia de um cilindro ao longo do seu eixo longitudinal será sempre calculado por essa equação aí em cima, beleza?
Agora, como o nosso cilindro tem uma espessura bem pequenininha, temos que derivar essa equação aí:
Repare que o raio é constante em um cilindro, por isso a única coisa que derivamos é a massa.
O raio do disco elementar está no eixo e varia ao longo do comprimento do corpo. Neste caso, o momento de inércia do elemento infinitesimal será:
É só substituir o raio pela variável que representa o raio na nossa figura, que neste caso foi a variável !!!!
Agora é só lembrar que é:
E quando estamos usando o método do disco elementar é:
Então:
Depois é só integrarmos de ambos os lados:
Vamos ter que:
A questão vai te dar a equação que descreve o corpo e você vai conseguir escrever em função de para poder resolver a integral.
Teorema dos Eixos Paralelos
E se quisermos calcular o momento de inércia com relação a um eixo que não passa pelo centro de gravidade do corpo? Imagina uma placa circular que tem o seu centro de gravidade no meio da peça:
Como fazemos para calcular o momento de inércia com relação a um eixo perpendicular ao plano da figura e que passa pelo ponto ?
Se sabemos o momento de inércia com relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade () do corpo, então podemos achar o momento de inércia com relação a qualquer eixo paralelo através do que chamamos teorema dos eixos paralelos:
Onde, é a massa do corpo e é a distância entre os eixos paralelos.
Raio de Giração
O raio de giração () é uma grandeza que permite calcularmos o momento de inércia com relação a um eixo. Se tivermos o raio de giração de um eixo e a massa de um corpo, então o momento de inércia será:
Se tivermos o momento de inércia e a massa do corpo , é podemos calcular o raio de giração:
A unidade do raio de giração é a unidade de comprimento.
Corpos Compostos
Se um corpo for formado por várias formas diferentes (como barras, discos, etc), o momento de inércia do corpo todo com relação a um eixo pode ser determinado somando o momento de inércia com relação a este mesmo eixo de cada uma dessa partes que compõe o corpo.
Atenção: se o corpo tiver um furo, podemos calcular o momento de inércia do corpo inteiro e subtrair o momento de inércia só do furo.
Neste exemplo, podemos calcular o momento de inércia do quadrado de lado e subtrair o momento de inércia do círculo de raio , ambos os momento de inércia calculados com relação ao eixo .
Quando temos corpos compostos por formas conhecidas, podemos usar o momento de inércia tabelado para facilitar a vida. Aqui tem uma tabela de momento de inércia para os corpos mais comum:
Beleza?
Vamos fazer uns exercícios para fixar essas coisas!!!