Movimento em Relação a Eixos que Giram

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Teoria

Introdução

Até agora usamos o movimento relativo para analisar o movimento de pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido ou de pontos localizados em corpos que são articulados entre si.

Imagina agora que você está dentro de um trem...

E bem no momento que ele está fazendo uma curva, você resolve levantar...

O que acontecerá com o seu movimento quando você se move sobre o trem que está numa trajetória circular, ou seja, fazendo uma rotação e também está realizando uma translação?

É justamente isso que vamos aprender neste capítulo: o que muda quando queremos determinar o movimento relativo de corpos que realizam tanto translação quanto rotação ao mesmo tempo!

Velocidade Relativa

Neste tipo de questão sempre teremos dois corpos, um que será nosso referencial e outro que temos que analisar o seu movimento.

Quando temos dois corpos que não pertencem ao mesmo corpo rígido e que realizam tanto rotação (uma curva, por exemplo) quanto translação, vamos usar a seguinte equação para relacionar as suas velocidades:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Onde:

  • v → A é o vetor velocidade absoluta do corpo que está se movendo (corpo A ) com relação ao corpo que está nosso referencial (corpo B );
  • v → B é o vetor velocidade absoluta do corpo onde está nosso referencial, ou seja, é de onde estamos observando o movimento do corpo A ;
  • ω → é o vetor velocidade angular do corpo B , onde está o nosso sistema de referência.
  • r → é o vetor posição do corpo A com relação a B , ou seja, é a posição de A com relação ao eixo de referência fixo no corpo B ;
  • v → r e l é a velocidade relativa do corpo A com relação ao corpo B .

Para entender melhor isso, vamos usar o exemplo do nosso trem.

Imagina que você está em um trem viajando pela Europa...

E bem no momento que o trem está fazendo uma curva, você resolver ir até o banheiro:

Repare que o trem realiza movimento de rotação e translação. Como você está dentro do trem, você realiza os mesmos movimentos. Então, já somos capazes de identificar quem é o nosso referencial e quem está realizando o movimento relativo: a pessoa realiza o movimento relativo e o trem é onde está o nosso referencial:

  • Corpo A     →     Pessoa
  • Corpo B     →       Trem

Então, vamos colocar nosso eixo fixo no trem:

Identificado quem é o corpo A e quem é o corpo B , podemos dizer que:

v → A = v → P e s s o a

v → B = v → T r e m

Como o trem está fazendo uma curva, ele possui uma velocidade angular.

  • ω →   →     Velocidade angular do trem
  • E o vetor posição r → ? É a posição da pessoa com relação ao nosso eixo fixo:

    A seta do vetor sempre chega no corpo A e começa na origem do eixo fixo!

    Quando você começa a andar dentro do trem, adquire uma velocidade em relação ao trem, certo? Esta vai ser a velocidade relativa da pessoa com relação ao trem:

    v → r e l = v → P e s s o a / T r e m

    Beleza?

    Então, nesses tipos de questões sempre temos que localizar quem está realizando o movimento relativo e onde está o nosso eixo fixo. Depois é só pegar a nossa nova equação da velocidade relativa e identificar quem é cada termo da equação de acordo com a situação que temos (igual fizemos nesse exemplo).

    Ω . Então não se assuste se encontrar esta notação!!!

    Aceleração relativa

    A equação que relaciona as acelerações do corpo A e do corpo B é:

    a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

    Calma, não se assuste!!! Essa equação é um pouco trabalhosa, mas não é difícil!

    Vamos ver o que cada termo da equação significa:

  • a → A é a aceleração do corpo A , ou seja, quem realiza o movimento relativo (no nosso exemplo, é a pessoa andando no trem);
  • a → B é a aceleração do corpo B que é onde está o nosso referencial;
  • α → é a aceleração angular do corpo B , ou seja, onde está o eixo fixo (no nosso exemplo seria a aceleração angular do trem);
  • r → é o mesmo vetor posição da equação da velocidade, ou seja, a posição do corpo A com relação a B ;
  • ω → também é a mesma velocidade angular da equação da velocidade;
  • v → r e l é a mesma velocidade relativa de A com relação a B ;
  • a → r e l é a aceleração relativa que o corpo A tem com relação ao corpo B . No nosso exemplo seria a aceleração que a pessoa tem com relação ao trem que está também em movimento.

Aceleração de Coriolis

A aceleração de Coriolis corresponde ao termo 2 ω → × v → r e l lá da equação da aceleração relativa que acabamos de ver. Esse nome estranho é o sobrenome do primeiro engenheiro que determinou esta aceleração.

a → c o r = 2 ω → × v → r e l

Mas o que quer dizer esta aceleração? Ela representa a diferença na aceleração do corpo B medida no sistema fixo e em rotação.

A aceleração de Coriolis tem direção perpendicular ao vetor v → r e l e ao vetor velocidade angular ω → . O seu sentido é definido pela regra da mão direita para produto vetorial como vimos anteriormente.

Agora que você sabe tudo sobre movimento relativo com eixos girantes, tem o direito de ganhar a sua passagem para embarcar nos exercícios:

Partiu?

Velocidade Relativa

Aceleração relativa

Aceleração de Coriolis

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Ao contornar uma curva sem inclinação lateral a uma velocidade constante de 25   k m / h , o centro C do vagão ferroviário segue uma trajetória circular de raio ρ = 60   m . O eixo longitudinal do vagão permanece tangente ao círculo. Determine a velocidade absoluta v de uma pessoa P que caminha na velocidade constante de 1,5 m/s em relação ao vagão quando ele está nos pontos a ) A ,   b )   B e c )   C . Utilize os eixos x - y presos ao vagão como indicado.

Passo 1

Quando temos o movimento relativo de corpos que realizam movimento de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

O próximo passo é identificar quem está realizando o movimento relativo. Neste caso, é a pessoa. Então, a velocidade v A corresponde a velocidade absoluta da pessoa:

v → A = v →

E é justamente o que queremos saber!

A velocidade v B é a velocidade absoluta do trem:

v B = v t r e m = 25   k m / h

Que passando para m / s , temos:

v t r e m = 25 3,6     →         v t r e m = 6,94   m / s

Como o trem anda para a esquerda, o vetor velocidade v → t r e m será:

v → t r e m = - 6,94 i ^   m / s

Como o trem está realizando um movimento circular, a sua velocidade angular ω → pode ser calculada assim:

ω = v t r e m ρ     →         ω = 6,94 60    

ω = 0,1157   r a d / s    

Sabemos que a velocidade angular está sempre no eixo z e como o trem está andando para a esquerda, então a velocidade angular é positiva:

ω → = 0,1157 k ^   r a d / s

E a velocidade relativa v r e l é a velocidade da pessoa com relação ao vagão do trem. Repare que a pessoa caminha da direita para a esquerda, ou seja, no sentido negativo do eixo x :

v → r e l = - 1,5 i ^   m / s

Passo 2

Vamos calcular primeiro a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto A . Repare que quando ela está no ponto A , a sua posição é:

r → = + 10 i ^   m

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 10 i ^ - 1,5 i ^

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,1157 10 0 0 = i ^ 0 0,1157 0 0 - j ^ 0 0,1157 10 0 + k ^ 0 0 10 0

ω → × r → = 1,157 j ^

Então:

v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 10 i ^ - 1,5 i ^       →           v → = - 6,94 i ^ + 1,157 j ^ + - 1,5 i ^

v → = v → A = - 8,44 i ^ + 1,157 j ^   m / s

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto B . Repare que quando ela está neste ponto, a sua posição é:

r → = - 10 i ^   m

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × - 10 i ^ - 1,5 i ^

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,1157 - 10 0 0 = i ^ 0 0,1157 0 0 - j ^ 0 0,1157 - 10 0 + k ^ 0 0 - 10 0

ω → × r → = - 1,157 j ^

Então:

v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × - 10 i ^ - 1,5 i ^       →           v → = - 6,94 i ^ - 1,157 j ^ + - 1,5 i ^

v → = v → B = - 8,44 i ^ - 1,157 j ^   m / s

Passo 4

Por último vamos calcular a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto C . Repare que quando ela está neste ponto, a sua posição é:

r → = 0

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 0 - 1,5 i ^

Essa é moleza, né?

v → = v → C = - 8,44 i ^   m / s

Resposta

a )   v → A = - 8,44 i ^ + 1,157 j ^   m / s

b )   v → = v → B = - 8,44 i ^ - 1,157 j ^   m / s

c )   v → C = - 8,44 i ^   m / s

Exercício Resolvido #2

Enquanto a ponte giratória está fechando com uma velocidade angular de 0,5   r a d / s , um homem corre ao longo da pista a uma velocidade constante de 5   p é s / s , relativamente à pista. Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração do homem, no instante em que d = 15   p é s .

Passo 1

Como se trata de corpos que realizam movimentos de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos utilizar a seguinte equação para a velocidade:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Nosso próximo passo é identificar onde ocorre o movimento relativo. Perceba que enquanto a ponte gira, o homem se move por ela. Então, o homem que realiza o movimento relativo. Agora vamos organizar a nossa equação.

A velocidade v A é a velocidade absoluta de quem realiza o movimento, que no nosso caso é o homem:

v A = v h o m e m

Essa é a primeira coisa que precisamos descobrir!

A velocidade v B é a velocidade da ponte. Mas repare que a ponte apenas gira, então a sua velocidade é zero:

v B = v p o n t e = 0

A velocidade angular da ponte foi dada, mas repare que ela gira no sentido anti-horário, então o vetor é positivo:

ω → = + 0,5 k ^   r a d / s

O vetor posição r →   do homem com relação ao eixo será:

r → = - 15 j ^   p é s

E enfim, a velocidade relativa v r e l é a velocidade que o homem tem com relação a ponte. Repare que ele está correndo no sentido negativo do eixo y :

v → r e l = - 5 j ^   p é s / s

Passo 2

Agora que identificamos o que é cada coisa na nossa equação, é só substituirmos:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l       →           v → h o m e m = ω → × r → + v → r e l

v → h o m e m = 0,5 k ^ × - 15 j ^ - 5 j ^

Vamos resolver o produto vetorial separado:

ω → × r → = 0,5 k ^ × - 15 j ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 0 , 5 0 - 15 0 = i ^ 0 0,5 - 15 0 - j ^ 0 0,5 0 0 + k ^ 0 0 0 - 15

ω → × r → = + 7 , 5 i ^

Substituindo isso aí na nossa equação, vamos ter que:

v → h o m e m = 0,5 k ^ × - 15 j ^ - 5 j ^    

v → h o m e m = 7,5 i ^ - 5 j ^   p é s / s

O módulo da velocidade vai ser:

v → h o m e m = 7,5 2 + ( - 5 ) 2

v → h o m e m = 9,01   p é s / s

Passo 3

Agora vamos fazer a análise da aceleração. Para isso, vamos usar a seguinte equação:

a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

A aceleração do homem é:

a A = a h o m e m

Lembra que vimos que a ponte não tem velocidade, portanto ela também não terá aceleração:

a B = a p o n t e = 0

A aceleração angular α da ponte também é zero, porque ela gira a velocidade constante:

α = 0

Repare que os vetores posição r → , velocidade angular ω → e velocidade relativa v → r e l   não mudam.

A aceleração relativa a → r e l também é zero, porque o homem corre com velocidade constante :

α r e l = 0

Então, vamos ter que:

a → h o m e m = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

a → h o m e m = 0,5 k ^ × 0,5 k ^ × - 15 j ^ + 2 ( 0,5 k ^ ) × - 5 j ^

Já sabemos que:

ω → × r → = 0,5 k ^ × - 15 j ^ = + 7,5 i ^

Então:

ω → × ω → × r → = 0,5 k ^ × 0,5 k ^ × - 15 j ^

0,5 k ^ × 7,5 i ^

Esse produto vetorial vai ficar:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0 , 5 7,5 0 0 = i ^ 0 0 , 5 0 0 - j ^ 0 0 , 5 7,5 0 + k ^ 0 0 7,5 0

ω → × ω → × r → = 3,75 j ^

O outro produto vetorial que precisamos é:

2 ω → × v → r e l = 2 ( 0,5 k ^ ) × - 5 j ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 1 0 - 5 0 = i ^ 0 1 - 5 0 - j ^ 0 1 0 0 + k ^ 0 0 0 - 5

2 ω → × v → r e l = + 5 i ^

Substituindo isso na nossa equação, vamos ter:

a → h o m e m = 0,5 k ^ × 0,5 k ^ × - 15 j ^ + 2 ( 0,5 k ^ ) × - 5 j ^

a → h o m e m = 5 i ^ + 3,75 j ^

O seu módulo será:

a → h o m e m = 5 2 + 3,75 2

a → h o m e m = 6,25   p é s / s 2

Resposta

a )   v → h o m e m = 9,01   p é s / s

b )   a → h o m e m = 6,25   p é s / s 2

Exercício Resolvido #3

O disco gira em torno de um eixo fixo através de O com velocidade angular ω = 5   r a d / s e aceleração angular α = 3   r a d / s 2 no instante representado, nos sentidos indicados. O cursor A se desloca na ranhura reta. Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração absolutas de A para o mesmo instante, quando x = 36   m m , x ˙ = - 100   m m / s e x ¨ = 150   m m / s 2 .

Passo 1

Nosso primeiro passo é identificar onde ocorre o movimento relativo. Perceba que enquanto o disco gira em torno de O , o cursor A se move na ranhura. Então, o movimento relativo ocorre no cursor A . Para a velocidade vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Repare que o disco apenas gira em torno do ponto O , ou seja, só possui velocidade angular com relação a esse ponto, então:

V B = 0

A velocidade angular é sempre perpendicular à figura, ou seja, está no eixo z . Como ela faz o disco girar no sentido anti-horário, a velocidade angular é positiva de acordo com a nossa convenção de sinais:

ω → = + 5 k ^   r a d / s

E o vetor posição r ? Ela indica a posição do cursor A medido a partir do eixo x y no instante mostrado na figura:

r → = 36 i ^ + 25 j ^   m m

A velocidade relativa v r e l é a velocidade do cursor A com relação ao eixo que gira:

v → r e l = - 100 i ^   m m / s

Então, vamos ter que:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l       →           v → A = 5 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ ) - 100 i ^

Vamos resolver esse produto vetorial aí:

ω → × r → = 5 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ )

i ^ j ^ k ^ 0 0 5 36 25 0 = i ^ 0 5 25 0 - j ^ 0 5 36 0 + k ^ 0 0 36 25

ω → × r → = ( - 125 i ^ + 180 j ^ )

Substituindo isso aí na nossa equação, vamos ter que:

v → A = 5 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ ) - 100 i ^       →             v → A = - 125 i ^ + 180 j ^ - 100 i ^

Então, v → A será:

v → A = - 225 i ^ + 180 j ^   m m / s

Passo 2

Agora vamos fazer a análise da aceleração. Para isso, vamos usar a seguinte equação:

a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

Lembra que vimos que o corpo B não tinha velocidade no ponto O , portanto ele também não terá aceleração:

a → B = 0

A aceleração angular α do disco estará sempre no eixo z e como ela gira no sentido contrário da velocidade angular, ela é negativa:

α → = - 3 k ^   r a d / s 2

Repare que os vetores posição r → , velocidade angular ω → e velocidade relativa v → r e l   não mudam:

r → = 36 i ^ + 25 j ^   m m

ω → = + 5 k ^   r a d / s

v → r e l = - 100 i ^   m m / s

Já a aceleração relativa a → r e l é a aceleração que o cursor A possui e está posicionada no eixo x :

a → r e l = 150 i ^   m m / s 2

Então, vamos ter que:

a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

a → A = - 3 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ ) + 5 k ^ × 5 k ^ × 36 i ^ + 25 j ^ + 2 ( 5 k ^ ) × - 100 i ^ + 150 i ^

Vamos fazer cada produto vetorial separado:

  • Já sabemos que:
  • ω → × r → = 5 k ^ × 36 i ^ + 25 j ^ = - 125 i ^ + 180 j ^

  • ω → × ω → × r → :
  • 5 k ^ × 5 k ^ × 36 i ^ + 25 j ^   →       5 k ^ × ( - 125 i ^ + 180 j ^ )

    i ^ j ^ k ^ 0 0 5 - 125 180 0 = i ^ 0 5 180 0 - j ^ 0 5 - 125 0 + k ^ 0 0 - 125 180

    ω → × ω → × r → = - 900 i ^ - 625 j ^

  • α → × r → :
  • α → × r → = - 3 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ )

    i ^ j ^ k ^ 0 0 - 3 36 25 0 = i ^ 0 - 3 25 0 - j ^ 0 - 3 36 0 + k ^ 0 0 36 25

    α → × r → = 75 i ^ - 108 j ^

  • 2 ω → × v → r e l :

2 5 k ^ × - 100 i ^   →       10 k ^ × - 100 i ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 10 - 100 0 0 = i ^ 0 10 0 0 - j ^ 0 10 - 100 0 + k ^ 0 0 - 100 0

2 ω → × v → r e l = - 1000 j ^

Pronto! Agora é só substituirmos:

a → A = - 3 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ ) + 5 k ^ × 5 k ^ × 36 i ^ + 25 j ^ + 2 ( 5 k ^ ) × - 100 i ^ + 150 i ^

a → A = 75 i ^ - 108 j ^ + - 900 i ^ - 625 j ^ - 1000 j ^ + 150 i ^

Somando os termos de mesma componente, obtemos:

a → A = - 675 i ^ - 1733 j ^   m m / s 2

Resposta

a )   v → A = - 225 i ^ + 180 j ^   m m / s

b )   a → A = - 675 i ^ - 1733 j ^   m m / s 2

Exercício Resolvido #4

Os carros A e B estão contornando as curvas com velocidades iguais de 72   k m / h . Determine a velocidade que A parece ter para um observador se deslocando e girando com o carro B para o instante representado. A curvatura da estrada para o carro A afeta o resultado? Os eixos x - y estão fixos no carro B .

Passo 1

Quando temos o movimento relativo de corpos que realizam movimento de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

O que queremos determinar é a velocidade que A parece ter para um observador se deslocando e girando com o carro B , ou seja, queremos calcular a velocidade relativa v r e l .

O próximo passo é identificar quem está realizando o movimento relativo. Neste caso, é o carro A , já que o eixo está fixo no carro B . Então, a velocidade v A corresponde a velocidade absoluta do carro A :

v A = 70   k m / h

Vamos passar esta velocidade para m / s :

v A = 70 3,6 m s     →         v A = 20   m / s

Repare que o carro A se move no sentido positivo do eixo x , então o vetor velocidade é:

v → A = - 20 i ^   m / s

Como a velocidade do carro B é igual a velocidade do carro A , então:

v B = 20   m / s

Porém, o carro B se move no sentido positivo do eixo x :

v → B = + 20 i ^   m / s

A velocidade angular ω pode ser calculada, já que ambos os carros realizam movimento circular. Mas repare que a velocidade angular a ser calculada é a do carro B (onde está o eixo fixo):

ω = v B ρ       →           ω = 20 100

ω = 0,2   r a d / s

A velocidade angular é positiva, porque devido a posição dos eixos x y , o sentido positivo do eixo z é apontando para dentro da tela.

ω → = 0,2   k ^   r a d / s

E o vetor posição é a distância do carro A até o eixo que está fixo em B :

r → = - 30 j ^   m

Passo 2

Agora que definimos o que é cada coisa da nossa equação, vamos substituir:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l     →       - 20 i ^ = 20 i ^ + 0,2   k ^ × - 30 j ^ + v → r e l

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,2 0 - 30 0 = i ^ 0 0,2 - 30 0 - j ^ 0 0,2 0 0 + k ^ 0 0 10 - 30

ω → × r → = 6 i ^

Então:

- 20 i ^ = 20 i ^ + 0,2   k ^ × - 30 j ^ + v → r e l       →           - 20 i ^ = 20 i ^ + 6 i ^ + v → r e l

v → r e l = - 20 i ^ - 20 i ^ - 6 i ^

v → r e l =   - 46 i ^   m / s

Passo 3

A questão quer saber se ao mudar o raio de curvatura do carro A vai alterar a velocidade relativa. A resposta é não, porque usamos o raio de curvatura ρ para calcular a velocidade angular ω . Mas sempre calculamos a velocidade angular do corpo onde está o eixo fixo e não no corpo em que estamos analisando o movimento relativo.

Resposta

a )   v → r e l =   - 46 i ^   m / s

b )   N ã o   a l t e r a   a   v e l o c i d a d e   r e l a t i v a

Exercício Resolvido #5

Um brinquedo de um parque de diversões consiste em uma plataforma girante P , que tem velocidade angular constante ω P = 1,5   r a d / s , e quatro barquinhas, C , montadas na plataforma, que têm velocidade angular constante ω C / P = 2   r a d / s , medida relativamente à plataforma. Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração do passageiro B , na situação mostrada na figura.

Dados: R = 3   m ; r = 0,75   m .

Passo 1

Vamos começar calculando a velocidade do passageiro que está no ponto B :

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Primeiro temos que identificar o que é cada termo da nossa equação no problema que queremos resolver!

A velocidade v A é aquela velocidade que queremos saber, então ela corresponde a velocidade do passageiro que está no ponto B . Então, para ficar mais intuitivo:

v A = v P a s s a g e i r o

A velocidade v B é a velocidade de onde está o nosso referencial fixo, que é o próprio brinquedo (é onde tudo está acontecendo):

v B = v B r i n q u e d o

Mas repare que a plataforma só gira em torno do ponto P , ou seja, ela só tem velocidade angular:

v B = v B r i n q u e d o = 0

A velocidade angular ω que aparece na nossa equação também é a do brinquedo que está girando com 1,5   r a d / s no sentido anti-horário (positivo), então o vetor será:

ω → = ω → P = 1,5   k ^   r a d / s

O vetor posição r → pode ser obtido na figura:

Como o raio do movimento da cadeiras é de 3   m , então o vetor será:

r → = 3 i ^   m

O vetor velocidade relativa v r e l   corresponde a velocidade que o passageiro tem com relação ao brinquedo. Mas repare que só temos a velocidade angular relativa:

ω C / P = ω r e l = 2   r a d / s

Como a cadeira está girando no sentido anti-horário, essa velocidade angular é positiva e seu vetor é:

ω → r e l = 2 k ^   r a d / s

Passo 2

Mas como vamos achar o valor da velocidade relativa ( v r e l )? Repare que se olharmos só para as cadeiras, vamos ver que elas estão fazendo um movimento circular e também transladando devido a rotação da plataforma do brinquedo.

Sabemos que:

v → = ω → × r →

Porém, a velocidade angular da cadeira vai ser a soma da velocidade angular relativa (que a cadeira tem com relação à plataforma do brinquedo) com a velocidade angular do próprio brinquedo:

ω → c a d e i r a = ω → r e l + ω → P         →             ω → c a d e i r a = 2 k ^ + 1,5   k ^

ω → c a d e i r a = 3,5   k ^   r a d / s  

O vetor posição do passageiro B com relação ao centro da cadeira é:

r → = 0,75 i ^   m

Então:

v → r e l = ω → r e l × r →         →             v → r e l = 3,5 k ^ × 0,75 i ^

Nossa matriz fica:

i ^ j ^ k ^ 0 0 3,5 0,75 0 0 = 0 3,5 0 0 i ^ - 0 3,5 0,75 0 j ^ + 0 0 0,75 0 k ^

v → r e l = 2,63 j ^   m / s

Passo 3

Agora sim podemos calcular a velocidade do passageiro:

v → P a s s a g e i r o = ω → P × r → + v → r e l       →             v → P a s s a g e i r o = 1,5   k ^ × 3 i ^ + 2,63 j ^      

Vamos resolver o produto vetorial primeiro:

i ^ j ^ k ^ 0 0 1,5 3 0 0 = 0 1,5 0 0 i ^ - 0 1,5 3 0 j ^ + 0 0 3 0 k ^

ω → P × r → = 4,5 j ^  

Então:

v → P a s s a g e i r o = 1,5   k ^ × 3 i ^ + 2,63 j ^       →           v → P a s s a g e i r o = 4,5 j ^ + 2,63 j ^

v → P a s s a g e i r o = 7,13 j ^   m / s

v → P a s s a g e i r o = 7,13   m / s

Passo 4

Agora vamos calcular a aceleração do passageiro:

a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

Vamos mais uma vez relacionar cada termo da equação com o que está acontecendo na situação do problema.

A aceleração a A corresponde a aceleração do passageiro e justamente o que queremos saber:

a A = a P a s s a g e i r o

A aceleração angular do brinquedo α , neste nosso caso, é nula. Isso porque no enunciado foi dito que a plataforma do brinquedo tem uma velocidade angular constante.

α = 0

A velocidade angular ω continua a mesma da outra equação:

ω → = ω → P = 1,5   k ^   r a d / s

A velocidade relativa também continua a mesma:

v → r e l = 2,63 j ^   m / s

E a aceleração relativa das cadeiras é zero também, porque a velocidade angular das cadeiras é constante.

Vamos fazer uma observação importante: no termo correspondente à aceleração de coriolis ( 2 ω → × v → r e l ) não podemos usar a velocidade angular da plataforma, temos que fazer o produto vetorial com a mesma velocidade angular que usamos para achar a velocidade relativa:

ω → c a d e i r a × v → r e l       →         ω → c a d e i r a × ( ω → c a d e i r a × r → )

Então, ao invés de usarmos a aceleração de Coriolis, vamos usar essa expressão aí de cima.

Então, nossa equação vai ficar:

a → P a s s a g e i r o = ω → P × ω → P × r → + ω → c a d e i r a × v → r e l

Já sabemos que:

ω → P × r → = 4,5 j ^  

Então:

a → P a s s a g e i r o = 1,5   k ^ × 4,5 j ^ + 3,5 k ^   × 2,63 j ^

Vamos resolver os produtos vetoriais:

1,5   k ^ × 4,5 j ^     →

i ^ j ^ k ^ 0 0 1,5 0 4,5 0 = 0 1,5 4,5 0 i ^ - 0 1,5 0 0 j ^ + 0 0 0 4,5 k ^

1,5   k ^ × 4,5 j ^ = - 6,75 i ^

E:

3,5 k ^   × 2,63 j ^       →

i ^ j ^ k ^ 0 0 3,5 0 2,63 0 = 0 3,5 2,63 0 i ^ - 0 3,5 0 0 j ^ + 0 0 0 2,63 k ^

2 3,5   k ^   × 2,63 j ^ = - 9,21 i ^      

Vamos ter que:

a → P a s s a g e i r o = - 6,75 i ^ - 9,21 i ^

a → P a s s a g e i r o = - 15,94 i ^   m / s 2

a → P a s s a g e i r o = - 15,94 i ^     m / s 2

Resposta

a )     v → P a s s a g e i r o = 7,13 j ^   m / s

b )     a → P a s s a g e i r o = - 15,94 i ^   m / s 2

Exercício Resolvido #6

O bloco B do mecanismo tem de ser deslocar na ranhura da barra C D . Se A B está se movendo a uma taxa constante ω A B = 3   r a d / s , determine a ) a velocidade angular e b ) a aceleração angular da barra C D , na situação mostrada na figura.

Passo 1

Nesse tipo de questão, a primeira coisa que temos que fazer é posicionar o eixo que será móvel e aquele que será fixo.

Repare que o bloco B se move ao longo da barra C D , então vamos posicionar o nosso eixo móvel ( x y ) nesta barra onde ocorre o movimento:

Nosso eixo fixo ( X Y ) vai ser aquele que estamos acostumados:

Passo 2

Feito isso podemos começar a resolver nossa questão. Vamos começar pela barra que temos alguma informação sobre o seu movimento que é a barra A B . Repare que nesta barra o ponto B gira em torno do ponto A que é fixo, então vamos usar nossa velha conhecida equação:

v → B = ω → A B × r → B / A

A velocidade angular da barra A B foi dada e como está girando no sentido horário é negativa:

ω → A B = - 3 k ^   r a d / s

O vetor posição de B com relação ao ponto A é:

r → B / A = 0,1 i ^   m

Agora é só fazermos o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 3 0,1 0 0 = 0 - 3 0 0 i ^ - 0 - 3 0,1 0 j ^ + 0 0 0,1 0 k ^ =

= - 0,3 j ^

v → B = ω → A B × r → B / A       →           v → B = - 0,3 j ^   m / s

Passo 3

Nosso próximo passo é analisar a barra C D que é justamente a barra que a questão quer saber. Como nesta barra está o nosso eixo móvel, temos que usar a equação para eixos girantes:

v → B = v → C + ω → C D × r → B / C + v → r e l

Primeiro temos que identificar o que é cada termo da nossa equação com relação ao questão que queremos resolver!

A velocidade v C é a velocidade do ponto C com relação ao referencial fixo. Mas repare que o ponto C não se move ao longo do eixo, ele é fixo, logo sua velocidade é nula:

v C = 0

A velocidade angular ω C D que aparece na nossa equação é justamente o que a questão pede para determinamos. Repare que na figura que foi dada no enunciado já tem um sentido para a velocidade angular desta barra, então vamos só colocar o sentido que é negativo:

ω → C D = - ω C D k ^   r a d / s

E o vetor r → B / C ?

r → B / C = 0,2 s e n   3 0 ° i ^ + 0,2 cos ⁡ 3 0 ° j ^

r → B / C = 0 , 1 i ^ + 0 , 173 j ^   m

A velocidade relativa v r e l corresponde a velocidade que ponto B tem quando ele se movimenta ao longo do eixo móvel. Como o ponto B só pode se mover ao longo da barra C D , o vetor velocidade será:

Repare que a velocidade está apontando para baixo, porque a barra A B está girando no sentido horário o que faz o ponto B se mova para baixo ao longo do eixo móvel.

Porém, antes de colocar na nossa equação temos que decompor o vetor velocidade relativa para o eixo fixo X Y . Como não sabemos seu valor, vamos ter que:

v → r e l = - v r e l s e n   3 0 ° i ^ - v r e l cos ⁡ 3 0 ° j ^

v → r e l = - 0 , 5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^

Agora sim podemos substituir tudo que achamos na nossa equação:

v → B = v → C + ω → C D × r → B / C + v → r e l      

v → B = - ω C D k ^ × 0,1 i ^ + 0,173 j ^   + ( - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^ )

Vamos resolver este produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - ω C D 0 , 1 0 , 173 0 = 0 - ω C D 0 , 173 0 i ^ - 0 - ω C D 0 , 1 0 j ^ + 0 0 0 , 1 0 , 173 k ^ =

= 0,173 ω C D i ^ - 0,1 ω C D j ^

Então, temos que:

v → B = 0,173 ω C D i ^ - 0,1 ω C D j ^ - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^

Passo 4

Lembra que já achamos a velocidade do ponto B antes:

v → B = - 0,3 j ^   m / s

Então, vamos substituir esse valor nessa equação que achamos:

v → B = 0,173 ω C D i ^ - 0,1 ω C D j ^ - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^

- 0,3 j ^ = 0,173 ω C D i ^ - 0,1 ω C D j ^ - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^

Agora temos que separar as componentes i ^ e j ^ em duas equações:

E m   x       →       ��   0 = 0,173 ω C D - 0 , 5 v r e l

E m   y       →         - 0,3 = - 0,1 ω C D - 0,866 v r e l

Da primeira equação temos que:

0 = 0,173 ω C D - 0,5 v r e l         →             0,5 v r e l = 0,173 ω C D

v r e l = 0,173 0,5 ω C D

v r e l = 0,346 ω C D

Substituindo isso na segunda equação:

- 0,3 = - 0,1 ω C D - 0,866 v r e l         →             - 0,3 = - 0,1 ω C D - 0,866 ( 0,346 ω C D )

- 0,3 = - 0,1 ω C D - 0,299 ω C D

ω C D = 0,75   r a d / s

O resultado ter dado positivo indica que arbitramos o sentido correto para o vetor (graças a dica da figura hahaha). Então, temos que:

ω → C D = - 0,75   k ^   r a d / s

E a velocidade relativa será:

v r e l = 0,346 ω C D       →             v r e l = 0,346 ( 0,75   )

v r e l = 0,26   m / s

Passo 5

Agora vamos analisar a aceleração do ponto B . Primeiro vamos usar a barra A B que é a barra que temos alguma informação sobre seu movimento. Repare que o ponto C faz um movimento circular em torno do ponto A que é fixo, então:

a → B = α → A B × r → B / A - ω A B 2 r → B / A

Foi dito no enunciado da questão que a barra A B se move a uma taxa constante, portanto sua aceleração angular é nula:

α A B = 0

Então nos sobra:

a → B = - ω A B 2 r → B / A

E já sabemos que:

r → B / A = 0,1 i ^   m

E:

ω → A B = - 3 k ^   r a d / s

Substituindo isso na nossa equação, temos que:

a → B = - ω A B 2 r → B / A         →             a → B = - 3 2 ( 0,1 i ^ )

a → B = - 0,9 i ^   m / s 2

Passo 6

Mas não é a aceleração do ponto B que a questão pede. O que queremos é a aceleração angular da barra C D . Então, vamos analisar o movimento nesta barra sabendo que é nela que está nosso eixo móvel.

A equação da aceleração com relação ao eixo móvel é:

a → B = a → C + α → C D × r → B / C + ω → C D × ω → C D × r → B / C + 2 ω → C D × v → r e l + a → r e l

Vamos mais uma vez relacionar cada termo da equação com o que está acontecendo na situação do nosso problema.

Como o ponto C está fixo, ele não possui aceleração:

a C = 0

A aceleração angular da barra C D nós não sabemos, mas pela figura é possível ver que o seu sentido é horário:

α → C D = - α C D k ^   r a d / s 2

A aceleração relativa a r e l corresponde a aceleração do ponto B quando ele se move no eixo móvel. Como o ponto B só pode se mover ao longo da barra C D , o vetor aceleração relativa será:

Precisamos decompor o vetor a → r e l no eixo fixo X Y :

a → r e l = - a r e l s e n   30 ° i ^ - a r e l cos ⁡ 30 ° j ^

a → r e l = - 0 , 5 a r e l i ^ - 0 , 866 a r e l j ^

Não esqueça que tem que decompor o vetor velocidade relativa ( v → r e l ), cujo valor achamos no passo anterior, nos eixos X Y também. Vai ficar assim:

v → r e l = - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^      

v → r e l = - 0,5 ( 0,26 ) i ^ - 0,866 ( 0,26 ) j ^

v → r e l = - 0,13 i ^ - 0,225 j ^   m / s

E o restante dos termos nós já sabemos, então a nossa equação fica:

a → B = a → C + α → C D × r → B / C + ω → C D × ω → C D × r → B / C + 2 ω → C D × v → r e l + a → r e l

a → C = - α C D k ^   × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ + ( - 0,75   k ^ ) × ( - 0,75   k ^ ) × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ + 2 ( - 0,75   k ^ ) × ( - 0,13 i ^ - 0,225 j ^ ) + ( - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^ )

Vamos resolver cada um dos produtos vetoriais:

- α C D k ^   × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 - α C D 0 , 1 0,173 0 = 0 - α C D 0,173 0 i ^ - 0 - α C D 0 , 1 0 j ^ + 0 0 0,6495 0,173 k ^ =

= 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^

O próximo nós já tínhamos resolvido antes:

- 0,75   k ^ × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 0,75 0,1 0,173 0 = 0 - 0,75 0,173 0 i ^ - 0 - 0,75 0,1 0 j ^ + 0 0 0,6495 0,173 k ^ =

= 0,129 i ^ - 0,0 7 5 j ^

Então:

- 0,75   k ^ × ( - 0,75   k ^ ) × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ = - 0,75   k ^ × ( 0,129 i ^ - 0,0 7 5 j ^ )

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 0,75 0,129 - 0,0 7 5 0 = 0 - 0,75 - 0,0 7 5 0 i ^ - 0 - 0,75 0,129 0 j ^ + 0 0 0,129 - 0,0 7 5 k ^ =

= - 0,0 56 i ^ - 0,097 j ^

Vamos para o nosso último produto vetorial:

2 - 0,75   k ^ × - 0,13 i ^ - 0,225 j ^     →   - 1,5 k ^ × - 0,13 i ^ - 0,225 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 1,5 - 0,13 - 0,225 0 = 0 - 1,5 - 0,225 0 i ^ - 0 - 1,5 - 0,13 0 j ^ + 0 0 - 0,13 - 0,225 k ^ =

= - 0,338 i ^ + 0 , 1 95 j ^

Agora, vamos substituir isso na nossa equação lá de cima:

a → B = 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^ - 0,056 i ^ - 0,097 j ^ - 0,338 i ^ + 0,195 j ^ - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^

Vamos dar aquela ajeitada na nossa equação:

a → B = 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^ - 0,3 94 i ^ + 0,098 j ^ - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^

Passo 7

Lembra que achamos um valor para a aceleração do ponto B ?

a → B = - 0,9 i ^   m / s 2

Então, vamos substituir este valor na nossa equação:

a → B = 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^ - 0,394 i ^ + 0,098 j ^ - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^

- 0,9 i ^ = 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^ - 0,394 i ^ + 0,098 j ^ - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^

Agora vamos separar as componentes i ^ e j ^ cada qual na sua equação:

E m   x       →         - 0,9 = 0,173 α C D - 0,3 94 - 0,5 a r e l

E m   y       →           0 = - 0,1 α C D + 0,098 - 0,866 a r e l

Da segunda equação tiramos que:

0 = - 0,1 α C D + 0,098 - 0,866 a r e l     →         0,866 a r e l = - 0,1 α C D + 0,098

a r e l = - 0,115 α C D + 0,113

Substituindo isso na primeira equação temos que:

- 0,9 = 0,173 α C D - 0,394 - 0,5 a r e l    

        - 0,9 = 0,173 α C D - 0,394 - 0,5 ( - 0,115 α C D + 0,113 )

- 0 , 449 = 0,173 α C D + 0,058 α C D

α C D = - 1,95   r a d / s 2

Como o sinal deu negativo, significa que arbitramos o sentido contrário para a aceleração angular da barra C D . Como tínhamos arbitrado o sentido negativo, ela vai ser positiva:

α → C D = 1,95 k ^   r a d / s 2  

Resposta

a )   ω → C D = - 0,75   k ^   r a d / s

b )   α → C D = 1,95 k ^   r a d / s 2  

Exercício Resolvido #7

Num dado instante, a barra A B tem velocidade angular ω A B = 3   r a d / s e aceleração angular α A B = 5   r a d / s 2 . Determine a ) a velocidade angular e b ) a aceleração angular da barra C D , nesse instante. O colar em C está ligado por pino em C D e desliza em A B .

Passo 1

Nesse tipo de questão, a primeira coisa que temos que fazer é posicionar o eixo que será móvel e aquele que será fixo.

Repare que o colar em C se move ao longo da barra A B , então vamos posicionar o nosso eixo móvel ( x y ) nesta barra:

Nosso eixo fixo ( X Y ) vai ser aquele que estamos acostumados:

Passo 2

Feito isso podemos começar a resolver nossa questão. Vamos começar pela velocidade do ponto C com relação ao eixo móvel, pois temos informações sobre o movimento da barra A B :

v → C = v → A + ω → A B × r → C / A + v → r e l

Primeiro temos que identificar o que é cada termo da nossa equação no problema que queremos resolver!

A velocidade v A é a velocidade do ponto A com relação ao referencial fixo. Mas repare que o ponto A é fixo, logo sua velocidade é nula:

v A = 0

A velocidade angular ω A B que aparece na nossa equação nós já sabemos que é positiva:

ω → A B = 3 k ^   r a d / s

E o vetor r → C / A ?

r → C / A = 0,75 s e n   60 ° i ^ - 0,75 cos ⁡ 60 ° j ^

r → C / A = 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^   m

A velocidade relativa v r e l corresponde a velocidade do ponto C quando ele se move no eixo móvel. Como o colar C só pode se mover ao longo da barra A B , o vetor velocidade será:

Porém, antes de colocar na equação temos que decompor o vetor para o eixo fixo. Como não sabemos seu valor, vamos ter que:

v → r e l = v r e l s e n   60 ° i ^ - v r e l cos ⁡ 60 ° j ^

v → r e l = 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^

Agora sim podemos substituir tudo que achamos na nossa equação:

v → C = v → A + ω → A B × r → C / A + v → r e l       →

v → C = 3 k ^   × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ + ( 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^ )

Vamos resolver este produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 3 0,6495 - 0,3750 0 = 0 3 - 0,3750 0 i ^ - 0 3 0,6495 0 j ^ + 0 0 0,6495 - 0,3750 k ^ =

= 1,125 i ^ + 1,9486 j ^

Então, temos que:

v → C = 1,125 i ^ + 1,9486 j ^ + 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^

Vamos guardar essa equação, pois não conseguimos avançar só com ela.

Passo 3

Temos que buscar outra forma de achar a velocidade do ponto C . Para isso vamos usar a barra C D . Repare que nesta barra o ponto C gira em torno do ponto D que é fixo, então vamos usar nossa velha conhecida equação:

v → C = ω → C D × r → C / A

Não sabemos o valor da velocidade angular da barra C D , mas vamos supor que ela está girando no sentido anti-horário (sentido positivo):

ω → C D = ω C D k ^

E o vetor r → C / A é:

r → C / A = 0,5 j ^   m

Então, a velocidade do ponto C será:

v → C = ω → C D × r → C / A       →         v → C = ω C D k ^ × 0,5 j ^

Resolvendo este produto vetorial, vamos ter que:

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω C D 0 0,5 0 = 0 ω C D 0,5 0 i ^ - 0 ω C D 0 0 j ^ + 0 0 0 0,5 k ^ =

= - 0,5 ω C D i ^

Então:

v → C = - 0,5 ω C D i ^

Passo 4

Agora sim temos duas equações que relacionam a velocidade do ponto C :

v → C = - 0,5 ω C D i ^

E:

v → C = 1,125 i ^ + 1,9486 j ^ + 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^

Vamos igualar estas equações:

- 0,5 ω C D i ^ = 1,125 i ^ + 1,9486 j ^ + 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^

Agora temos que separar as componentes i ^ e j ^ em duas equações:

E m   x       →           - 0,5 ω C D = 1,125 + 0,866 v r e l

E m   y       →         0 = 1,9486 - 0,5 v r e l

Da segunda equação tiramos que:

0 = 1,9486 - 0,5 v r e l     →         0,5 v r e l = 1,9486

v r e l = 3,90   m / s

E da primeira equação temos que:

- 0,5 ω C D = 1,125 + 0,866 v r e l       →           - 0,5 ω C D = 1,125 + 0,866 ( 3,9 )

ω C D = - 9,0   r a d / s

Como a achamos um valor negativo, significa que arbitramos o sentido contrário para a velocidade angular da barra C D :

ω → C D = - 9,0   k ^   r a d / s

Passo 5

Nosso próximo passo é acharmos a aceleração angular da barra C D . Para isso, vamos usar a equação da aceleração do ponto C com relação ao eixo móvel:

a → C = a → A + α → A B × r → C / A + ω → A B × ω → A B × r → C / A + 2 ω → A B × v → r e l + a → r e l

Vamos mais uma vez relacionar cada termo da equação com o que está acontecendo na situação do problema.

Como o ponto A está fixo, ele não possui aceleração:

a A = 0

A aceleração angular da barra A B é:

α → A B = 5 k ^   r a d / s 2

A aceleração relativa a r e l corresponde a aceleração do ponto C quando ele se move no eixo móvel. Como o colar C só pode se mover ao longo da barra A B , o vetor aceleração será:

a → r e l = a r e l s e n   60 ° i ^ - a r e l cos ⁡ 60 ° j ^

a → r e l = 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^

Não esqueça que tem que decompor o vetor velocidade relativa, cujo valor achamos no passo anterior, nos eixos X Y também. Vai ficar assim:

v → r e l = 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^       →           v → r e l = 0,866 ( 3,90   ) i ^ - 0,5 ( 3,90   ) j ^

v → r e l = 3,378 i ^ - 1,95 j ^

E o restante dos termos nós já sabemos, então a nossa equação fica:

a → C = a → A + α → A B × r → C / A + ω → A B × ω → A B × r → C / A + 2 ω → A B × v → r e l + a → r e l     →

a → C = 5 k ^   × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ + 3 k ^ × 3 k ^ × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ + 2 ( 3 k ^ ) × ( 3,378 i ^ - 1,95 j ^ ) + ( 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^ )

Vamos resolver cada um dos produtos vetoriais:

5 k ^   × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 5 0,6495 - 0,3750 0 = 0 5 - 0,3750 0 i ^ - 0 5 0,6495 0 j ^ + 0 0 0,6495 - 0,3750 k ^ =

= 1,875 i ^ + 3,2476 j ^

O próximo nós já tínhamos resolvido antes:

3 k ^ × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ = 1,125 i ^ + 1,9486 j ^

Então:

3 k ^ × 3 k ^ × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ = 3 k ^ × ( 1,125 i ^ + 1,9486 j ^ )

i ^ j ^ k ^ 0 0 3 1,125 1,9486 0 = 0 3 1,9486 0 i ^ - 0 3 1,125 0 j ^ + 0 0 1,125 1,9486 k ^ =

= - 5,8458 i ^ + 3,375 j ^

Calma, vamos para o nosso último produto vetorial:

2 3 k ^ �� 3,378 i ^ - 1,95 j ^       →       6 k ^ × 3,378 i ^ - 1,95 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 6 3,378 - 1,95 0 = 0 6 - 1,95 0 i ^ - 0 6 3,378 0 j ^ + 0 0 3,378 - 1,95 k ^ =

= 11,7 i ^ + 20,25 j ^

Agora, vamos substituir isso na nossa equação lá de cima:

a → C = 1,875 i ^ + 3,2476 j ^ - 5,8458 i ^ + 3,375 j ^ + 11,7 i ^ + 20,25 j ^ + ( 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^ )

Beleza?

Vamos dar aquela ajeitada na nossa equação:

a → C = 7,73 i ^ + 26,87 j ^ + 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^

Bem melhor agora, né?

Mas ainda não conseguimos achar a aceleração angular da barra C D só com esta equação aí. Temos que partir para outra!!!

Passo 6

Vamos usar a barra C D para calcular a aceleração do ponto C , já que ele realiza um movimento circular em torno do ponto D que é fixo:

a → C = α → C D × r → C / D - ω C D 2 r → C / D

Sabemos que:

r → C / A = 0,5 j ^   m

E que:

ω → C D = - 9,0   k ^   r a d / s

Nós não sabemos o valor deda aceleração angular da barra C D , mas vamos arbitrar o sentido positivo:

α → C D = α C D k ^

Então a nossa equação fica:

a → C = α → C D × r → C / D - ω C D 2 r → C / D       →    

a → C = α C D k ^ × 0,5 j ^ - 9 2 ( 0,5 j ^ )

Resolvendo esse produto vetorial temos que:

a → C = - 0,5 α C D i ^ - 9 2 ( 0,5 j ^ )

Então:

a → C = - 0,5 α C D i ^ - 40,5 j ^

Passo 7

Pronto! Agora temos duas equações que relacionam a aceleração do ponto C :

a → C = - 0,5 α C D i ^ - 40,5 j ^

E:

a → C = 7,73 i ^ + 26,87 j ^ + 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^

Vamos igualar essas equações:

- 0,5 α C D i ^ - 40,5 j ^ = 7,73 i ^ + 26,87 j ^ + 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^

Agora é só separar as componentes i ^ e j ^ cada qual na sua equação:

E m   x       →         - 0,5 α C D = 7,73 + 0,866 a r e l

E m   y       →           - 40,5 = 26,87 - 0,5 a r e l

Da segunda equação tiramos que:

- 40,5 = 26,87 - 0,5 a r e l       →           - 67,37 = - 0,5 a r e l

a r e l = 134,75   m / s 2

E da primeira equação temos que:

- 0,5 α C D = 7,73 + 0,866 a r e l     →           - 0,5 α C D = 7,73 + 0,866 ( 134,75   )

α C D = - 249   r a d / s 2

Como o sinal deu negativo, significa que arbitramos o sentido contrário para a aceleração angular da barra C D :

α → C D = - 249 k ^   r a d / s 2  

Resposta

a )   ω → C D = - 9,0   k ^   r a d / s

b )   α → C D = - 249 k ^   r a d / s 2  

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