142. O cilindro de está preso a um amortecedor viscoso e à mola de rigidez . Se o cilindro é liberado a partir do repouso, no instante de tempo , da posição em que está deslocado de uma distância em relação a sua posição de equilíbrio, trace o gráfico do deslocamento em função do tempo, durante o primeiro segundo, para os dois casos em que o coeficiente de amortecimento viscoso é:

(a) e

(b)

Agora, vamos calcular o valor da frequência angular natural pela fórmula:

Onde é a constante elástica da mola e a massa do cilindro

Agora que a gente já achou os dados comuns aos dois itens pedidos, vamos dividir o problema.

(a)

Aqui, nós devemos calcular fator de amortecimento pela fórmula:

Como , então temos um amortecimento supercrítico.

Substituindo na fórmula dos

Nas condições iniciais, e :

Para achar , devemos derivar a solução geral e substituir o tempo por , lembrando que foi solto do repouso, o que nos resulta em:

Com isso, montamos o sistema:

Que ao ser resolvido nós encontramos:

A solução deste item será:

Agora vamos resolver para o segundo item

(b) Cálculo do fator de amortecimento :

Como , então temos um amortecimento subcrítico.

Devido a isso, temos a solução:

Vamos calcular pela fórmula:

Nas condições iniciais e :

Para achar , devemos derivar a solução geral e substituir o tempo por , lembrando que foi solto do repouso, o que nos resulta em:

Com isso, montamos o sistema:

Que ao ser resolvido nós encontramos:

A solução deste item será: