Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

Enunciado

Considere o seguinte sistema de equações lineares:

x 1 + 2 x 2 - x 3     = 1 2 x 1 - x 2         = 1   - x 2 + 2 x 3 - x 4 = 1       - x 3 + 2 x 4 = 1

a Mostre que este sistema não satisfaz o critério de linhas;

b Mostre que esse sistema não satisfaz o critério de Sassenfeld;

c O que se pode afirmar sobre a convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, quando aplicados a este sistema?

d Mostre que o sistema obtido permutando-se as duas primeiras equações satisfaz o critério de Sassenfeld;

Passo 1

(a) Vamos relembrar como funciona o critério das linhas?

Vamos calcular um α para cada linha da matriz e verificar se o maior desses α ’s é menor do que 1. Se o maior dos α ’s for menor do que 1, o critério das linhas é satisfeito e o método irá convergir.

Tá... na teoria ta lindo, mas como calculamos esses α ’s?

Verificando o critério das linhas:

α 1 = 3 1 = 3 > 1

Só pelo α 1 já podemos ver que ele não satisfaz o critério.

Passo 2

(b) Da mesma forma, verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = 3 1 = 3 > 1

Novamente, apenas pelo valor de β 1 já sabemos que o critério não é satisfeito.

(c) Nesse caso não podemos afirmar nada a respeito da convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel quando aplicados a esse sistema. Eles podem convergir ou divergir.

Passo 3

(d) Permutando-se as duas primeiras linhas obtemos:

2 x 1 - x 2         = 1 x 1 + 2 x 2 - x 3     = 1   - x 2 + 2 x 3 - x 4 = 1       - x 3 + 2 x 4 = 1

Verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = 1 2 = 0.5

β 2 = 0.5 ∙ 1 + 1 2 = 0.75

β 3 = 0.75 ∙ 1 + 1 2 = 0.875

β 4 = 0.875 ∙ 1 2 = 0.4375

Logo, β = 0.875 < 1 . Então, o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)