Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel
Enunciado
No método de Gauss-Seidel uma condição suficiente (sempre que for satisfeita vai convergir, mas dá pra convergir sem ela também) para a convergência do método de Gauss-Seidel é o critério de Sassenfeld. Verifique se o critério de de Sassenfeld é satisfeito no caso abaixo
Passo 1
Vamos lá!! Como diz no enunciado, uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss-Jacobi é o critério de Sassenfeld. Nesse critério precisamos calcular um para cada linha da matriz. Se o maior desses for menor do que 1, então o nosso critério foi satisfeito e o método irá convergir!!
Vamos fazer as continhas pra ficar mais claro!
Aqui como o nosso sistema tem 3 equações, calcularemos e :
Ou seja, é bem parecido com o critério das linhas né? A diferença é que os que calculamos entram na fórmula dos seguintes! No nós já tínhamos calculado o , então ele entrou multiplicando o termo da coluna !
Beleza?! Vamos então substituir os valores e fazer as continhas?!
Passo 2
Verificando o critério de Sassenfeld:
Substituindo os valores, temos
Agora vamos calcular
Substituindo os valores,
Da mesma forma,
Portanto,
Da mesma forma,
Logo, . O critério é satisfeito. Assim como em Gauss-Jacobi, se esse critério for satisfeito você pode usar qualquer chute inicial que quiser que o método vai convergir! Quanto melhor o chute, mais rápido vamos convergir, mas podemos escolher qualquer vetor como aproximação inicial.
Beleza?!
Resposta
O critério é satisfeito.