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Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

Exercício 91234567810

Enunciado

Resolva o caso abaixo por Gauss-Seidel com ε = 0.01 , levando em consideração que o critério de Sassenfeld é satisfeito.

A = 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 ; b = 1 1 1 1

Passo 1

Fala Aí!!! O objetivo do método de Gauss-Seidel é encontrar uma aproximação desejada para a solução de sistemas lineares. A primeira coisa que precisaríamos fazer aqui é verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito, mas como o enunciado me garante isso, vamos pular essa parte, beleza?!

Então o próximo passo é encontrar as funções de iterações pra fazermos as continhas!

Passo 2

Podemos reescrever o caso do enunciado na forma de matriz para nos ajudar a encontrar as funções de iteração. Ficaria assim ó,

4 x 1 - x 2   = 1 - x 1 + 4 x 2 - x 3 = 1   - x 2 + 4 x 3 - x 4 = 1 - x 3 + 4 x 4 = 1

Assim, para encontrar as funções de iteração, vamos isolar o x 1 na primeira equação, o x 2 na segunda equação e o x 3 na terceira equação! (Aqui é como se o x 1 = x , x 2 = y e z = x 3 , beleza?)

Portanto, as funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 1 + x 2 k 4

x 2 k + 1 = 1 + x 1 k + 1 + x 3 k 4

x 3 k + 1 = 1 + x 2 k + 1 + x 4 k 4

x 4 k + 1 = 1 + x 3 k + 1 4

Como o critério de Sassenfeld é satisfeito podemos usar qualquer chute inicial que quisermos que o método vai convergir! Quanto melhor o chute, mais rápido vamos convergir, mas podemos escolher qualquer vetor como aproximação inicial. Aqui vamos usar como aproximação inicial x 0 = 0.5,0.5,0.5,0.5 .

Show de bola?!

Passo 3

Iteração 1 : Vamos substituir os valores de x 0 = 0.5,0.5,0.5,0.5 nas funções de iteração para achar X 1 :

x 1 1 = 1 + x 2 0 4

Substituindo os valores, temos

x 1 1 = 0.375

Da mesma forma,

x 2 1 = 1 + x 1 1 + x 3 0 4

Substituindo os valores,

x 2 1 = 0.46875

Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para o x 3 1 :

x 3 1 = 1 + x 2 1 + x 4 0 4

Assim, fazendo a substituição e as continhas,

x 3 1 = 0.49219

Analogamente,

x 4 1 = 1 + x 3 1 4

x 4 1 = 0.37305

Então temos x 1 = 0.375 ,   0.46875 ,   0.49219 ,   0.37305 . Será que essa é a nossa resposta?

Vamos verificar utilizando o critério de parada!! Para isso, faremos a diferença do x 1 que achamos nessa primeira iteração com o x 1 do chute inicial!

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.125 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Passo 4

Para a segunda iteração utilizaremos o valor encontrado na primeira iteração x 1 = 0.375 ,   0.46875 ,   0.49219 ,   0.37305 e a precisão dada no enunciado ε = 0.01

Iteração 2 :

x 1 2 = 1 + x 2 1 4

Substituindo os valores, temos

x 1 2 = 0.36719

Da mesma forma,

x 2 2 = 1 + x 1 2 + x 3 1 4

Substituindo os valores,

x 2 1 = 0.46484

Analogamente

x 3 2 = 1 + x 2 2 + x 4 1 4

Substituindo os valores e fazendo as continhas

x 3 2 = 0.45947

Analogamente

x 4 2 = 1 + x 3 2 4

x 4 2 = 0.36487

Então temos x 2 = 0.36719,0.46484,0.45947,0.36487 . Será que essa é a nossa resposta?

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.00781 < 0.01 = ε

Ou seja, atingimos o nosso critério de parada e chegamos na nossa aproximação:

x = 0.36719,0.46484,0.45947,0.36487

Show de bola?!

Resposta

x = 0.36719,0.46484,0.45947,0.36487