Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

Enunciado

Resolva o caso abaixo por Gauss-Seidel com ε = 0.001 , levando em consideração que o critério de Sassenfeld é satisfeito.

A = 10 1 1 1 10 1 1 1 10 ; b = 12 12 12

Passo 1

O objetivo do método de Gauss-Seidel é encontrar uma aproximação desejada para a solução de sistemas lineares. A primeira coisa que precisaríamos fazer aqui é verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito, mas como o enunciado me garante isso, vamos pular essa parte, beleza?!

Então o próximo passo é encontrar as funções de iterações pra fazermos as continhas!

Passo 2

Podemos reescrever o caso do enunciado na forma de matriz para nos ajudar a encontrar as funções de iteração. Ficaria assim ó,

10 x 1 + x 2 + x 3   = 12 x 1 + 10 x 2 + x 3 = 12   x 1 + x 2 + 10 x 3 = 12

Assim, para encontrar as funções de iteração, vamos isolar o x 1 na primeira equação, o x 2 na segunda equação e o x 3 na terceira equação! (Aqui é como se o x 1 = x , x 2 = y e z = x 3 , beleza?)

Portanto, as funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 12 - x 2 k - x 3 k 10

x 2 k + 1 = 12 - x 1 k + 1 - x 3 k 10

x 3 k + 1 = 12 - x 1 k + 1 - x 2 k + 1 10

Como o critério de Sassenfeld é satisfeito podemos usar qualquer chute inicial que quisermos que o método vai convergir! Quanto melhor o chute, mais rápido vamos convergir, mas podemos escolher qualquer vetor como aproximação inicial. Aqui vamos usar como aproximação inicial x 0 = 0.9,1.1,0.9 .

Show de bola?!

Passo 3

Iteração 1 : Vamos substituir os valores de x 0 = 0.9,1.1,0.9 nas funções de iteração para achar X 1 :

x 1 1 = 12 - x 2 0 - x 3 0 10

Substituindo os valores, temos

x 1 1 = 1

Da mesma forma,

x 2 1 = 12 - x 1 1 - x 3 0 10

Substituindo os valores,

x 2 1 = 1.01

Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para o x 3 1 :

x 3 1 = 12 - x 1 1 - x 2 1 10

Assim, fazendo a substituição e as continhas,

x 3 1 = 0.999

Então temos x 1 = 1,1.01,0.999 . Será que essa é a nossa resposta?

Vamos verificar utilizando o critério de parada!! Para isso, faremos a diferença do x 1 que achamos nessa primeira iteração com o x 1 do chute inicial!

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.1

Se você reparar, o valor que encontramos é maior que a precisão dada no enunciado

0.1 > 0.001 = ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Passo 4

Para a segunda iteração utilizaremos o valor encontrado na primeira iteração x 1 = 1,1.01,0.999 e a precisão dada no enunciado ε = 0.001

Iteração 2 :

x 1 2 = 12 - x 2 1 - x 3 1 10

Substituindo os valores, temos

x 1 2 = 0.9991

Da mesma forma,

x 2 2 = 12 - x 1 2 - x 3 1 10

Substituindo os valores,

x 2 2 = 1.00019

Analogamente

x 3 2 = 12 - x 1 2 - x 2 2 10

Substituindo os valores e fazendo as continhas

x 3 2 = 1.00007

Então temos x 2 = 0.9991,1.00019,1.00007 . Será que essa é a nossa resposta?

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.0009 < 0.001 = ε

Ou seja, atingimos o nosso critério de parada e chegamos na nossa aproximação:

x = 0.9991,1.00019,1.00007

Show de bola?!

Resposta

x = 0.9991,1.00019,1.00007