Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

Enunciado

Resolva o caso abaixo por Gauss-Seidel com , levando em consideração que o critério de Sassenfeld é satisfeito.

Passo 1

O objetivo do método de Gauss-Seidel é encontrar uma aproximação desejada para a solução de sistemas lineares. A primeira coisa que precisaríamos fazer aqui é verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito, mas como o enunciado me garante isso, vamos pular essa parte, beleza?!

Então o próximo passo é encontrar as funções de iterações pra fazermos as continhas!

Passo 2

Podemos reescrever o caso do enunciado na forma de matriz para nos ajudar a encontrar as funções de iteração. Ficaria assim ó,

Assim, para encontrar as funções de iteração, vamos isolar o na primeira equação, o na segunda equação e o na terceira equação! (Aqui é como se o , e , beleza?)

Portanto, as funções de iteração são:

Como o critério de Sassenfeld é satisfeito podemos usar qualquer chute inicial que quisermos que o método vai convergir! Quanto melhor o chute, mais rápido vamos convergir, mas podemos escolher qualquer vetor como aproximação inicial. Aqui vamos usar como aproximação inicial .

Show de bola?!

Passo 3

Iteração : Vamos substituir os valores de nas funções de iteração para achar :

Substituindo os valores, temos

Da mesma forma,

Substituindo os valores,

Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para o :

Assim, fazendo a substituição e as continhas,

Então temos . Será que essa é a nossa resposta?

Vamos verificar utilizando o critério de parada!! Para isso, faremos a diferença do que achamos nessa primeira iteração com o do chute inicial!

Critério de Parada:

Se você reparar, o valor que encontramos é maior que a precisão dada no enunciado

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Passo 4

Para a segunda iteração utilizaremos o valor encontrado na primeira iteração e a precisão dada no enunciado

Iteração :