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Exercícios Resolvidos de Método de Romberg

Exercício 61234578910

Enunciado

Considere o Método de Romberg para o cálculo da integral. Assim, o valor de R 1,1 da integral de f x = cos ⁡ x no intervalo entre 0 e π é dado por:

  1. π / 2
  2. 2 π
  3. 0
  4. - 2 π
  5. π

Passo 1

Fala Aí!! Vamos relembrar um pouco sobre o método de Roberg para atacar esse exercício?

Basicamente o Método de Romberg consiste na sucessiva aplicação da extrapolação de Richardson à uma quadratura composta de maior exatidão.

A determinação da integral é dada por:

I ≅ ∫ a b f x d x = h k 2 f a + f b + 2 ∑ i = 1 2 k - 1 f ( a + i . h k )

Onde:

h k = b - a 2 k - 1

Aqui, h k representa a amplitude entre cada subintervalo.

Passo 2

Beleza... mas quem é R 1,1 ?

A primeira coisa que iremos fazer para resolver a integral é definir uma nova notação:

R k , j

Onde:

k = 1,2 , … , n

j = 1,2 , … , k

Aí meus caros, temos que ter um valor inicial... certo?

Primeiro quando k = 1 :

R 1,1 = h k 2 f a + f b

Generalizando para k = 2,3 , … , n ficamos com:

R k , 1 = 1 2 [ R k - 1,1 + h k - 1 ∑ i = 1 2 k - 2 f ( a + 2 i - 1 h k )

Massss, aqui queremos calcular

R 1,1 = h k 2 f a + f b

Beleza?!

Passo 3

Temos que os limite de integração são 0 e π . Assim

a = 0

b = π

Assim, conseguimos calcular h :

h k = b - a 2 k - 1

Como estamos com k = 1 :

h 1 = π - 0 2 1 - 1 =   π

Além disso, precisamos calcular f 0 e f π para substituir em R 1,1 :

f 0 = cos ⁡ 0 = 1

f π = cos ⁡ π = - 1

Beleza?!

Agora é só substituir os valores na fórmula:

R 1,1 = h k 2 f a + f b

Substituindo e fazendo as continhas

R 1,1 =   π 2 1 - 1 = 0

Resposta

L e t r a   C