Considere a equação
a) Escreva esta equação na forma de um sistema.
b) Encontre a solução geral do sistema.
Passo 1
a) Fala aí! Tá bem?
A gente tem ali uma EDO de segunda ordem. Mas precisamos montar um sistema com EDOs de primeira ordem. Tem um passo a passo para fazer isso. Só seguir ele que dá bom!
Primeiro, a gente isola o termo com maior ordem. No nosso caso, :
Percebe que a gente tem uma EDO de ordem . Aí a gente precisa introduzir variáveis nessa história, ou seja, introduzir uma variável nova!
Como a gente faz isso? Vamos dizer que a nossa variável é a . A gente iguala ela a derivada de primeira ordem
E daí a gente tira que
Aí montamos um sistema com a equação que a gente já tinha e a que a gente criou , e substituímos , para tirar esse termo de seguda ordem:
Pronto! Esse é o nosso sisteminha.
Passo 2
Aí podemos colocar ele na forma na matricial. Ela tem essa cara:
Não temos nenhum termo só de no sistema, aí não vai ter . E e , a gente pode definir assim:
E para montar , a primeira coluna vai ser os coeficientes de nas duas equações. Como só temos na equação de baixo:
E a segunda coluna representa os coeficientes de , como ele só aparece na primeira equação:
Aí por fim, nosso sistema é:
Arrasamos!
Passo 3
b) Queremos achar uma solução na forma:
Para isso, a gente precisa começar achando os autovalores de :
Vamos usar a equação
Onde é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:
Calculando esse determinante:
Passo 4
Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, a gente vai ter uma solução da forma:
Onde e são nossos autovetores, que achamos assim:
Bora achar eles!
Passo 5
Vamos começar achando . Substituindo nossos dados na equação
E chamando . Temos:
Dessas duas equações só tiramos uma informação:
Aí a gente pode escolher um valor de que facilite a nossa vida, por exemplo, :
Passo 6
Vamos achar . Substituindo nossos dados na equação
E chamando . Temos:
Dessas duas equações só tiramos uma informação:
Aí a gente pode escolher um valor de que facilite a nossa vida, por exemplo, :
Passo 7
Agora temos tudo para montar nossa solução geral!
Como
Aí nossa solução fica:
Ufa! Deu tudo certo!
Resposta
a)
b)