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Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

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Exercício 312456789101112

Enunciado

Encontre a solução do sistema de EDO dado.

x ' = 3 x + 2 y + s e n ( t ) y ' = 4 x + y - 2 c o s ⁡ ( t )

Passo 1

Pra começar, precisamos colocar o sistema na forma matricial. Como já vimos, o sistema vai ficar

X ' = 3 2 4 1 X + s e n t cos ⁡ t

Agora, vamos separar a parte homogênea da não homogênea

A = 3 2 4 1 ,   g t = s e n t cos ⁡ t

Passo 2

Vamos primeiro resolver o sistema homogêneo. Temos que achar os autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ 2 4 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ - 2 . 4 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 - 8 = 0

λ 2 - 4 λ - 5 = 0

λ 1 = - - 4 + - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 + 16 + 20 2 = 4 + 36 2 = 4 + 6 2 = 10 2 = 5

λ 2 = - - 4 - - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 - 16 + 20 2 = 4 - 36 2 = 4 - 6 2 = - 2 2 = - 1

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora achar seus autovetores.

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, para isso vamos ter

A - λ 1 I v 1 = 0

- 2 2 4 - 4 x 1 x 2 = 0 0

E o autovetor associado vai ser

v 1 = 1 1

Fazendo o mesmo pro outro autovetor

A - λ 2 I v 2 = 0

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2

4 2 4 2 y 1 y 2 = 0 0

E o autovetor associado vai ser

v 2 = 1 - 2

Passo 4

Tendo os dois autovetores e o autovalor as soluções são da forma

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t  

Então

x 1 = 1 1 e 5 t

x 2 = 1 - 2 e - t  

A solução homogênea vai ficar

X h t = C 1 1 1 e 5 t + C 2 1 - 2 e - t

Passo 5

Agora temos que encontrar a solução particular. A parte não homogênea do nosso sistema é dada por

g t = s e n ( t ) - 2 c o s ⁡ ( t )

g t = 1 0 s e n ( t ) + 0 - 2 c o s ⁡ ( t )

Vamos supor que nossa solução particular vai ser dada por

X p = A B s e n ( t ) + C D c o s ⁡ ( t )

X p ' = A B cos ⁡ t - C D s e n ( t )

Passo 6

Substituindo os valores no sistema

A B cos ⁡ t - C D s e n ( t ) = 3 2 4 1 A B s e n ( t ) + C D c o s ⁡ ( t ) + 1 0 s e n ( t ) + 0 - 2 c o s ⁡ ( t )

Parece complicado, mas só é muita continha, vai ser fácil de resolver. Vamos?

A c o s t - C s e n t = 3 A + 2 B + 1 s e n t + 3 C + 2 D c o s ⁡ ( t )

B c o s t - D s e n t = 4 A + B s e n t + 4 C + D - 2 c o s ⁡ ( t )

E resolver um sistema

A = 3 C + 2 D

- C = 3 A + 2 B + 1

B = 4 C + D - 2

- D = 4 A + B

Resolvendo encontramos

A = 9 26 ,   B = - 15 13 ,   C = 7 26 ,   D = - 3 13

Então

X p = 9 26 - 15 13 s e n ( t ) + 7 26 - 3 13 c o s ⁡ ( t )

Passo 7

Finalmente, a solução geral fica

X = X h + X p

X = C 1 1 1 e 5 t + C 2 1 - 2 e - t + 9 26 - 15 13 s e n ( t ) + 7 26 - 3 13 c o s ⁡ ( t )

Resposta

X ( t ) = C 1 1 1 e 5 t + C 2 1 - 2 e - t + 9 26 - 15 13 s e n ( t ) + 7 26 - 3 13 c o s ⁡ ( t )

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