Sistema de EDO de Dimensão 2 – Não Homogêneo
Resolver os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Repare que esse sistema é não homogêneo então para achar a solução geral dele temos que primeiro achar a solução do sistema homogêneo associado:
E depois achar a solução particular, olhando para a cara de e assim chutando uma solução.
A solução homogênea é dada por
Onde , são funções a serem determinadas e são constantes.
Passo 2
Primeiro vamos resolver o sistema homogêneo:
Para isso vamos achar os autovalores da matriz .
Portanto temos dois autovalores complexos com parte real diferente de zero.
Passo 3
Como os autovalores são complexos temos que resolver o seguinte sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda, ficamos com
E portanto
Logo, a solução homogênea do sistema é dada por
Onde é a matriz dada no problema e é a matriz identidade.
Passo 4
Para achar a solução particular do sistema, olhamos para a cara de .
Temos que
Então, seria bem justo se procurássemos a solução particular da forma
Onde são constantes a serem determinadas.
Substituindo no nosso sistema ficamos com:
Passo 5
Agora, comparando as duas matrizes, temos que tem que satisfazer
Na segunda equação ficamos com
E na quarta ficamos com
Substituindo esses dois valores no sistema ficamos com
Então nosso sistema de quatro equações se tornou um sistema de duas, agora vamos resolver ele:
Multiplicando a primeira por 10 e a segunda por 11:
Fazendo a segunda menos a primeira:
Agora substituindo esses valores achamos e :
Então a solução particular é dada por
Passo 6
A solução geral é dada pela soma da solução particular com a solução homogênea, então
Passo 7
Falta acharmos os valores de e agora. Para tal, usamos as condições iniciais:
Logo:
Logo, a solução será: