Encontre a solução do sistema linear homogêneo de edo’s usando o método de autovalores e autovetores:

Por conseguinte encontre a solução geral do sistema não homogêneo:

Agora temos que achar os autovetores, então simbora, começando com :

Substituindo:

Continuando a conta

Multiplicando a primeira linha:

Assim o auto vetor é:

Onde:

Sacou??

OBS:

Olha, perceba o seguinte, eu gostaria que você mantesse em mente o que a gente tá fazendo aqui, a primeira coisa foi supor uma solução de exponencial para resolver esse sistema, assim como fizemos na teoria foi suporte uma solução de exponencial, desenvolvendo isso achamos :

A primeira coisa é ver que pra isso não ser a solução trivial: e implica que as linhas da matriz são linear dependentes, isso implica em que o determinante dessa matriz seja ! Assim achamos os autovalores, depois substituímos o resultado no sistema para achar os autovetores, fechou?! Perceba que como as linhas são linearmente dependentes, significa que elas expressam exatamentea mesma equação, tipo desse jeito:

Sacou? Por isso sempre só pegamos uma, elas expressam a mesma coisa!

Fim do OBS

Vamos achar o segundo autovetor:

Pegando a primeira linha:

Assim:

Achamos os autovetores!

Então a solução geral para complexos é:

Subtituindo e :

Da pra juntar esses caras:

Vamos acha agora a segunda resposta:

Agora é só substituir e

Substituindo:

Juntando esses rapazes:

Assim a solução geral da homogênea é dada por:

Agora temos que achar a particular, começamos achando a matriz fundamental:

A ideia é que a solução do sistema é dada por:

Nos basta achar esse ! Ele obedece a seguinte relação:

A gente já sabe quem é , vamos calcular então o:

Lembra que:

Ajeitando o denominador:

Então ficou:

Então voltando:

Substituindo:

Multiplicando as matrizes:

Assim:

Integrando:

Assim a solução particular é dada por:

E a solução geral: