(a) Encontre a solução do sistema linear homogêneo de e.d.o’s usando o método de autovalores e autovetores:

(b) Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:

O primeiro passo é escrever uma forma geral para . Para o método de autovalores e autovetores, a melhor forma geral é essa aqui:

Onde o é um vetor constante com a mesma ordem de .

Substituindo isso na e.d.o.:

Já que o é um vetor constante, a gente pode tirar ele da derivada:

Resolvendo a derivada daquela exponencial do lado esquerdo, a constante vai “cair”:

Dividindo os dois lados por :

Beleza! Chegamos em um problema de autovalor e autovetor, é isso mesmo que queríamos.

Agora a gente pode seguir os passos de sempre pra determinar os autovalores da matriz .

Primeiro a gente precisa resolver a equação característica que segue essa fórmula aqui:

Então vamos montar essa matriz :

E agora temos que calcular o determinante dessa matriz:

Simplificando um pouco essa expressão:

E agora igualar a zero:

Ou seja, o único autovalor é:

O próximo passo é encontrar o autovetor associado a esse autovalor. Ou seja, temos que satisfazer essa relação aqui:

Onde é o autovetor que a gente quer determinar:

Multiplicando as duas matrizes:

E isso dá um sistema de duas equações e duas varáveis:

As duas equações dão o mesmo resultado (porque a de baixo é simplesmente a de cima multiplicada por dois):

Ou seja, o autovalor tem um autovetor com a seguinte forma:

Por enquanto a gente pode escolher (arbitrariamente) que , então o autovalor produz o autovetor:

Isso deixa a gente com só uma solução.

E agora, como podemos encontrar uma segunda solução linearmente independente?

Afinal de contas, a gente só tem um autovalor mesmo, mas dá pra encontrar um segundo autovetor? Sim! O autovetor generalizado.

A equação para encontrar esse autovetor é a seguinte:

Percebeu? É igual a outra equação, mas ao invés de igualar a zero, você iguala ao autovetor que já foi encontrado.

Então tá, vamos substituir os valores:

Resolvendo esse produto de matrizes:

E isso dá um sistema de duas equações:

As duas equações dão o mesmo resultado (porque a segunda é simplesmente a primeira multiplicada por ):

Vamos fixar uma constante , de forma que:

E então o autovetor generalizado é:

Tá, e o que a gente faz com esse autovetor? Como é a solução associada a ele? Bom, por enquanto a gente tem:

A solução associado ao autovetor generalizado tem essa forma aqui:

Então, como :

Separando essa matriz da direita em duas:

Mas agora a segunda matriz é simplesmente o múltiplo da primeira, então podemos “agrupar” as duas:

Beleza, então agora temos as seguintes soluções:

(b) Agora falta encontrar a solução dessa equação aqui:

O método de variação de parâmetros exige que a gente faça o seguinte: primeiro, vamos chutar uma solução.

Onde é a matriz fundamental do sistema, essa matriz é formada pelas duas soluções independentes que a gente encontrou ali em cima:

Aqui é só literalmente juntar as duas matrizes em uma única.

E é uma matriz de funções:

E a derivada é:

A gente quer que esse seja solução dessa equação:

Que tem essa forma geral aqui:

E pelo método de variação de parâmetros, o nosso é uma solução quando:

Então:

Resolvendo esse produto de matrizes do lado esquerdo:

E isso dá um sistema de duas equações:

Multiplicando a primeira equação por :

Agora subtraindo a segunda da primeira:

E agora substituindo isso na primeira equação:

Ou seja:

Agora a gente pode integrar isso tudo pra encontrar :

Tomando as constante como sendo iguais a zero, o nosso vetor é:

E então a nossa solução particular é:

Multiplicando essas duas matrizes:

Simplificando um pouco:

Pronto! Essa é a solução particular.

Então a solução geral é a seguinte:

Beleza, essa é a solução geral do sistema!