Utilize o método matricial para resolver o sistema apresentado.
Passo 1
Pois bem, para resolvermos o problema não homogêneo, temos que resolver primeiro o problema da homogênea associada: e depois encontrar a solução particular . A solução final vai ser a soma das duas:
Vamos nessa?
Passo 2
Vamos primeiro resolver o sistema homogêneo associado (que é o sistema desconsiderando a parte não homogênea, se lembra?)
Assim, a nossa matriz dos coeficientes será dada por:
Agora temos que achar os autovalores de . Bora lá?
Passo 3
Lembra: achar autovalor é só fazer o cálculo desse determinante aqui:
Ou em termos de matrizes...
Determinante de matriz dois por dois é só pegar o produto da diagonal principal menos o produto da secundária, lembrou? Isso é importante, heim :
Fazendo as continhas vamos ganhar os lambdas que nesse caso são...
Complexos:
Passo 4
Ok! Precisamos agora encontrar os autovetores. Se liga que aqui vai ser um pouco chato, pois estamos lidando com números complexos! Já sabemos que:
Informações do próprio autovalor , neh. Lembra-se que os autovalores vão ser da forma
Então só precisamos achar um deles né? Para isso vamos ter condição de autovetor:
Consideraremos aqui o vetor , onde esse e são também números complexos, ok? Então substituindo...
Vamos ter através da primeira linha (lembre-se que você também pode escolher a segunda):
E o autovetor associado vai ser
Podemos tirar esse (escolher ele como igual a ):
E separar agora as partes reais e imaginárias:
Então
Passo 5
Esse é o caso de autovalores complexos, então as respostas fundamentais serão do tipo:
Ora, a gente encontrou quem é e através do autovalor, e e através dos autovetores:
Só mesmo substituir:
E a solução da parte homogênea vai ser então a combinação das duas fundamentais:
Passo 6
Agora temos que encontrar a solução particular. A parte não homogênea do nosso sistema é dada por
Como temos dois polinômios onde o maior grau é , vamos supor que nossa solução particular vai ser dada por polinômios do segundo grau também:
Derivando...
E substituindo os valores no sistema
Sim, fica enorme! Vamos separar em dois lados (lado direito e esquerdo) e fazer as continhas com calma em dois passos, ok?
Passo 7
Primeiro o lado esquerdo:
Multiplicando o no vetor:
Somando os dois vetores...
Passo 8
Lado direito:
Primeiro vamos fazer o mesmo que fizemos no passo anterior, só que dentro desses colchetes:
Vamos fazer o mesmo com os três últimos vetores agora (aproveitar e eliminar esses colchetes):
Presta atenção agora, pois devemos multiplicar as duas matrizes!
Simplificando os termos...
Colocando em evidência o e também o ...
Passo 9
Finalmente, podemos voltar para a igualdade do passo
E substituir os dois lados que simplificamos:
Por igualdade de vetores ganhamos...
Poxa, para as igualdade de cima ser verdadeira, o termo que multiplica devem ser , já que não tem nenhu do lado esquerdo:
Onde a gente tira que e . Ainda, podemos ver que o termo que multiplica nas duas equações do lado esquerdo, deve ser igual ao termo da direita:
Onde ganhamos e . Por último, vem a igualdade dos termos livres das duas equações:
Resolvendo encontramos
Resumindo, encontramos os seguintes coeficientes:
Como a resposta da particular é:
Então substituindo...
Passo 10
Finalmente, a solução geral fica