Sistemas EDO – método da eliminação ou método matricial
Considere o sistema
Escreva a solução geral do sistema homogêneo associado na forma onde é uma matriz e .
Resolva o sistema linear algébrico para onde e encontre uma solução particular do sistema.
Passo 1
O sistema dado é um sistema não-linear homogêneo , com
Passo 2
Vamos começar buscando os autovalores de :
O autovalor é repetido, com multiplicidade dois.
Passo 3
Agora, vamos avaliar os autovetores correspondentes:
Logo, os autovetores (associados ao único autovalor ) são da forma
Passo 4
Beleza, agora já podemos achar a primeira solução do sistema linear homogêneo associado, . Fazendo , temos .
Passo 5
Para achar a solução linearmente independente de (chamaremos de , vamos calcular :
Se , então e . Portanto,
Passo 6
Vamos montar, então, a matriz fundamental:
Assim, a solução geral do sistema homogêneo é:
Com dado acima e :
Passo 7
Para resolver o sistema linear não-homogêneo, fazemos , com e .
Passo 8
De , obtemos
E, assim, de :
Resolvendo para e :
Passo 9
Uma solução particular do sistema dado (não-homogêneo) é:
Resposta