Encontrar carga no capacitor em um circuito em série L-R-C no instante segundo quando , , ,, e . Determine o primeiro instante no qual a carga do capacitor é zero.
Passo 1
Vimos na teoria que, pela lei de Kirchhoff das tensões, o circuito RLC se reduz a EDO de 2° ordem:
Passo 2
Agora, vamos substituir os valores dados:
Passo 3
A equação auxiliar é:
Calculando temos:
Portanto as raízes são:
Passo 4
A solução da EDO é da forma:
Pois estamos no caso em que
Passo 5
Podemos determinar as constantes usando as condições iniciais:
Substituindo a primeira informação:
Chegamos então a:
Vamos usar a segunda informação:
Porém sabemos que:
Portanto, usando a regra do produto temos:
Ajeitando:
Usando temos:
Temos então:
A solução da EDO fica então:
Passo 6
Calculando temos:
Temos:
Passo 7
Agora só falta determinar o primeiro instante em que a carga do capacitor é zero. Queremos encontrar o instante que .
Temos então:
Repare que temos então duas possibilidades:
Ou
Repare que a exponencial acima só é zero quando tende a infinito. Logo, ficamos com a primeira possibilidade. Portanto, temos de resolver:
Que é o mesmo que:
Ajeitando:
Ou ainda:
Com a ajuda de uma calculadora, verificamos que:
Como queremos a primeira vez, temos de escolher o menor valor para , e consequentemente para , desde que . Portanto, temos . Então temos:
Calculando, encontramos:
Resposta
A carga no capacitor no instante segundo é
O primeiro instante no qual a carga do capacitor é zero: