Encontre a carga no capacitor em um circuito R-L-C em série, quando , , . , e . Qual é a carga no capacitor após um longo período de tempo?
Passo 1
Vimos na teoria que, pela lei de Kirchhoff das tensões, o circuito RLC se reduz a EDO de 2° ordem:
Passo 2
Agora, vamos substituir os valores dados:
Passo 3
Para resolver essa EDO, temos de resolver a parte homogênea associada e a não homogênea. Ou seja, a solução será:
A equação homogênea associada é :
A equação auxiliar é:
Calculando temos:
Portanto as raízes são:
A solução da EDO homogênea associada é da forma:
Pois estamos no caso em que
Passo 4
Agora vamos encontrar a solução da parte não homogênea. Pelo método dos coeficientes a determinar, o nosso palpite será:
Encontrando as derivadas temos:
Substituindo na EDO temos:
Então:
Portanto a solução particular fica:
Passo 5
Logo, a solução geral é:
Passo 6
Vamos usar as informações:
Primeiro vamos encontrar:
Então temos:
Derivando:
Usando a segunda informação temos:
Que nos leva a :
Utilizando a primeira informação, temos:
Que resulta em:
Então:
Portanto a solução geral fica:
Passo 7
O problema ainda pede a carga no capacitor após um longo período de tempo, ou seja, ele quer quando tende a infinito.
Perceba que o termo tende a zero quando tende ao infinito, devido ao teorema do confronto. Logo a carga no capacitor após um longo período de tempo é
Resposta
A carga no capacitor é:
A carga no capacitor após um longo período de tempo é