Encontre a corrente estacionária em um circuito em série R-L-C quando , , e .
Passo 1
Vimos na teoria que, pela lei de Kirchhoff das tensões, o circuito RLC se reduz a EDO de 2° ordem:
Passo 2
Agora, vamos substituir os valores dados:
Passo 3
Para resolver essa EDO, temos de resolver a parte homogênea associada e a não homogênea. Ou seja, a solução será:
A equação homogênea associada é :
A equação auxiliar é:
Calculando temos:
Portanto as raízes são:
A solução da EDO homogênea associada é da forma:
Pois estamos no caso em que
Passo 4
Agora vamos encontrar a solução da parte não homogênea. Pelo método dos coeficientes a determinar, temos que o lado direito é composto de soma de trigonométricas, logo o nosso palpite será:
Passo 5
A gente verifica que essas funções não estão presentes na solução homogênea. Veja que na homogênea, todas as funções trigonométricas são multiplicadas por o que não ocorre no nosso palpite.
Passo 6
Encontrando as derivadas temos:
Passo 7
Substituindo na EDO temos:
Ajeitando essa parada, temos:
Temos então as seguintes equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
E:
Da terceira equação:
Substituindo na quarta equação:
Então:
E:
Portanto a solução particular fica:
Passo 8
Logo, a solução geral é:
Passo 9
Falta encontrar:
Derivando:
Passo 10
Perceba que a questão pede a corrente estacionária, ou seja, a corrente quanto tende a infinito. Note que os termos
Tendem a zero quando tende a infinito, devido ao teorema do confronto.
Portanto a corrente estacionária é dada por:
Resposta
A corrente estacionária é dada por: