UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 7 – Questão 2
A função descreve a posição de uma partícula no instante t, em que t represente o tempo em segundos. Determine a aceleração da partícula em módulo, no instante
Obs: use
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Essa parece uma questão de física, mas é de equações mesmo! É que equações diferenciais é uma equação que leva em consideração uma variável e sua derivada, sendo assim podemos aplicar as técnicas de resolução aplicado a qualquer sistema assim!
A gente aprende lá na física que se uma partícula está em queda livre (movimento vertical no qual a partícula apenas está sob ação da aceleração da gravidade) sua posição em função do instante de tempo do movimento é dada segundo uma função do tipo assim:
Onde e são as velocidade e posição inicial dessa partícula, e é a aceleração da gravidade.
A função que foi dada no exercício foi essa aqui:
O problema pergunta qual é o módulo (apenas o valor numérico, sem o sinal) da aceleração dessa partícula no instante .
Mas o que tem a ver a função da posição com a derivada e tudo mais?
É que a aceleração instantânea (variação da velocidade em um dado instante de tempo), essa que o problema pediu, pode ser definida como a derivada segunda em relação ao tempo da posição!
Isso mesmo! A função dada é um exemplo que podemos aplicar os conceitos de equações diferenciais na física. Mais precisamente ao movimento de queda livre!
Então, tendo a função , podemos derivar duas vezes, dos dois lados, em relação ao tempo e encontrar uma função da aceleração em função do tempo .
E aí para achar a aceleração em um certo instante, que é o que o problema pede, é só substituir por (que é o instante que o problema pergunta a aceleração)
Ah, e não esquece de usar como o problema indicou, ok?
Bora fazer?
Passo 2
A função é:
E derivando os dois lados em relação ao tempo:
Podemos indicar a derivada temporal de uma variável com um ponto em cima:
Beleza?
Passo 3
Agora vamos derivar novamente para achar a aceleração:
Pronto! Achamos a função que nos dá a aceleração em função do tempo!
No nosso caso a aceleração independe da variável : veja que não aparece na função que achamos para , mas tudo bem ser assim, isso nos diz que a aceleração é constante com o passar do tempo!
Passo 4
Temos agora uma função que nos indica a aceleração dessa partícula em função do tempo!
Queremos o módulo da velocidade quando , e temos que , então agora basta substituir esses valores (na prática apenas precisa ser substituído, já que independe de ) na função da velocidade:
Como estamos falando de aceleração, a unidade de acompanha a unidade de , pois estamos falando da mesma grandeza física: aceleração.
Mas o problema pediu o módulo dessa aceleração, então nem o sinal negativo e nem a unidade vão para a resposta! Apenas o valor numérico:
Belezinha?
Então é isso!
Até a próxima!