UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 7 – Questão 1
A função descreve a posição de uma partícula no instante t, em que t represente o tempo em segundos. A velocidade da partícula em módulo, no instante é?
Obs: use
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Essa parece uma questão de física, mas é de equações mesmo!
É que equações diferenciais são equações que levam em consideração uma variável e sua derivada, sendo assim podemos aplicar as técnicas de resolução a qualquer sistema do tipo!
A gente aprende lá na física que se uma partícula está em queda livre (movimento vertical no qual a partícula apenas está sob ação da aceleração da gravidade) sua posição em função do instante de tempo do movimento é dada segundo uma função do tipo assim:
Onde e são as velocidade e posição inicial dessa partícula, e é a aceleração da gravidade.
A função que foi dada no exercício foi essa aqui:
O problema pergunta qual é o módulo (apenas o valor numérico, sem o sinal) da velocidade dessa partícula no instante .
Mas o que tem a ver a função da posição com a derivada e tudo mais?
É que a velocidade instantânea (velocidade em um dado instante de tempo), essa que o problema pediu, pode ser definida como a derivada temporal da posição!
Isso mesmo! Essa função dada é um exemplo que podemos aplicar os conceitos de equações diferenciais na física. Mais precisamente ao movimento de queda livre!
Então, tendo a função , podemos derivar dos dois lados em relação ao tempo e encontrar uma função da velocidade em função do tempo .
E aí para achar a velocidade em um certo instante, que é o que o problema pede, é só substituir por (que é o instante que o problema pergunta a velocidade)
Ah, e não esquece de usar como o problema indicou, ok?
Bora fazer?
Passo 2
A função é:
E derivando os dois lados em relação ao tempo:
Podemos indicar a derivada temporal de uma variável com um ponto em cima:
Beleza?
Passo 3
Temos agora uma função que nos indica a velocidade dessa partícula em função do tempo!
Queremos o módulo da velocidade quando , e temos que , então agora basta substituir esses valores na função da velocidade:
Como a unidade da aceleração é da gravidade foi dada em , a unidade da velocidade acompanha a mesma unidade de distância (que é o ) e acompanha também a unidade de tempo (mas na potência apenas), por isso a unidade da velocidade é
Mas notem que o problema nos pede o módulo da velocidade, então aquele ““ (que indica que a partícula está se deslocando para o sentido negativo) deve ser suprimido da resposta:
Belezinha?
Então é isso!
Até a próxima!