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Exercícios Resolvidos de Operações com Polinômios (Zeros, Soma, Produto e Divisão de Polinômios)

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Exercício 21345678

Enunciado

Dividindo-se o polinômio P x = 2 * x 3 - 3 * x 2 + 8 x + 3 por um outro polinômio S ( x ) , obtém-se um quociente Q x = 2 x - 1 e um resto R x = 3 x + 5 .

Quem é a S ( x ) ?

Passo 1

Opa galerinha, aqui estamos em um exercício de divisão de polinômios.

O problema deseja encontrar um polinômio s x que segundo o enunciado é o resultado da seguinte operação:

P ( x ) S ( x ) = Q x + R x S ( x )

Isolando o polinômio S ( x ) temos a seguinte equação polinomial:

S x = P x - R ( x ) Q ( x )

Onde essa equação mostra que o exercício é uma aplicação das operações de polinômio, primeiramente vamos subtrair o polinômio R x do P ( x ) e por último vamos realizar uma divisão de polinômios.

A divisão do polinômio é utilizando a função d e c o n v cuja sintaxe vai ser explicada um pouco para frente junto com exercício para ficar beeeem mais claro.

Como é uma questão de operação de polinômios a primeira coisa que precisamos realizar é a implementação dos vetores com os coeficientes dos polinômios.

Depois iremos realizar a subtração entre os polinômios e por últimos iremos utilizar a função d e c o n v para no final analisar a resposta final.

Passo 2

Aqui vamos primeiramente implementar os vetores com os coeficientes dos polinômios.

P = [ 2         - 3           8             3 ]

Analisando o enunciado vemos que o polinômio P x é de grau 3, enquanto o R ( x ) é de grau 1.

Então precisamos completar o polinômio de grau 1 até ele chegar no grau 3, inserindo zeros nos coeficientes de ordem superior.

Então nosso polinômio de grau 1 pode ser escrito da seguinte forma:

R = 0       0       3     5

Realizando a operação de subtração temos:

g = P - R

Implementando tudo no Matlab, temos:

Agora precisamos realizar a divisão do polinômio formado pelos coeficientes do vetor g pelo polinômio Q .

Para isso vamos utilizar a função deconv, onde a sua sintaxe é a seguinte:

q     r e s t o = d e c o n v ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

Onde a função d e c o n v gera duas saídas, o quociente e o resto da divisão.

E suas entradas precisam de dois argumentos, o primeiro argumento é o numerador obrigatoriamente que no nosso caso é o g . Já o segundo argumento é o denominador que no nosso caso se torna o Q que corresponde ao vetor:

Q = [ 2       - 1 ]

Implementando tudo no Matlab temos:

Resposta

Sendo assim, o polinômio S ( x ) se torna

S x = x 2 - x + 2