Exercícios Resolvidos de Operações com Polinômios (Zeros, Soma, Produto e Divisão de Polinômios)

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Enunciado

Uma esfera de alumínio é utilizada como boia sinalizadora. A esfera possui raio externo igual a 60cm e espessura da capa de alumínio de 12 m m . A densidade do alumínio é ρ =   2.690   k g / m 3 . A bóia foi jogada ao mar, onde a densidade da água vale ρ =   1.030     k g / m 3 .

Elabore uma Rotina em Matlab que permita calcular a altura do nível do mar até o topo da bóia.

Dica: A partir de cálculos de equilíbrios de força é possível obter a seguinte equação que modela a física do processo:

h 3 - 3 * r 0 * h 2 + 4 * r 0 3 - 4 * ρ b o i a ρ f l u i d o * r 0 3 - r ì 3 = 0

Passo 1

A questão pede para calcularmos a posição de equilíbrio que a bóia estará acima do nível do mar. A equação que modela isso pode ser obtida através de cálculos de equilíbrios semelhantes a aqueles vistos nos cursos básicos de física, porém, como o foco aqui é programação, a equação final já foi fornecida para você.

Então uma vez que temos todos os dados para a resolução da questão, vamos elaborar um pequeno algoritmo para a resolução da mesma:

O algoritmo para a resolução desse exercício é dado por:

  1. Entrada de dados:
  2. Criação do vetor dos coeficientes da equação de segundo grau
  3. Implementação da função zeros para encontrar o valor de h que satisfaz a igualdade.

AHHH lembrar que o r i = r 0 - e s p e s s u r a .

Passo 2

Uma vez que criamos o algoritmo basta apenas inseri-lo no Matlab, sendo assim:

Primeiramente vamos colocar a entrada de dados:

r 0 = 0.60 ;

r i = 0.588 ;

r h o b o i a = 2690

r h o a g u a = 1030

Agora que implementamos a entrada de dados vamos criar o vetor com os coeficientes da equação cúbica:

p = [ 1   - 3 * r o       0     4 * r h o b o i a r h o a g u a * ( r 0 3 - r i 3 ) ]

Agora basta implementar a função roots para o cálculo dos valores de h que satisfazem a equação cúbica:

g = r o o t s p

Seu codigozinho deve estar mais ou menos assim:

Executando o código na sua janela de command window deve mostrar a seguinte resposta:

Analisando as respostas vemos que tanto a última quanto a primeira raiz não tem sentido físico, a última nos remete a um raio negativo, algo fisicamente sem sentido.

Já a primeira raiz nos dá um valor de raio maior que o raio do próprio cilindro, o que também não tem um sentido físico.

Então só resta que o valor de h seja aproximadamente 0.2971 cm.

Resposta

h = 0.2971   c m