Teoria

Imagina que você fez seus experimentos e fez uma média dos resultados, mas você conhece pela literarura um resultado teórico μ 0 e seu objetivo é se aproximar ao máximo desse valor!

Existem algumas possibilidades, a primeira é que o seu resultado seja exatamente igual ao resultado experimental:

H 0 ∴ μ = μ 0

Chamamos esta de hipótese nula e representamos com o H 0 . Mas caso essa hipótese não seja verdadeira, exisem outras formas de enxergar o resultado, podemos ter:

H a ∴ μ ≠ μ 0

H a ∴ μ > μ 0

H a ∴ μ < μ 0

Onde H a é chamada de hipótese alternativa!

A gente já sabe que em um experimento podem vir erros de todos os lugares! E que eles são divididos em erros sistemáticos e erros aleatórios e que os erros aleatórios podem ser previstos pela curva de distribuição normal.

Teste z

Você ta em um laboratório e quer determinar a energia de ativação de uma reação química, então realiza o mesmo experimento 30 vezes e tira uma média dos resultados, x - = 27,7   k c a l / m o l e calcula um desvio padrão de σ = 5,2   k c a l / m o l .

Porém na literatura o valor da energia de ativação é μ 0 = 30,8   k c a l / m o l , ai você se pergunta, “o valor que eu achei é razoável?”

É ai que entra o teste z !!

Podemos usar o teste z sempre que tivermos um grande número de resultados, dessa forma o desvio padrão da amostra s é uma boa estimativa para o desvio padrão da população σ , o z pode ser calculado por:

z = x - - μ 0 σ / N

Mas vamos passo a passo!

A nossa hipótese nula é:

H 0 ∴ μ = 30,8   k c a l / m o l

Mas já sabemos que ela não é real, então vamos escrever a hipótese alternativa, H a :

H a ∴ μ ≠ μ 0

Afinal não estamos interessados em particular se μ > μ 0 ou μ < μ 0 , só queremos saber o quanto ele é diferente!

Vamos calcular o z então:

z = 27,7 - 30,8 5,2 / 30 = - 3,26

Ok, mas o que esse valor me diz? O resultado do meu experimento é ou não razoável?!”

Isso, meu caro, vai depender do nível de confiança que você determinar! Vamos rever uma tabelinha que apareceu pra a gente lá em Limites de Confiança:

Vamos supor que o nosso limite de confiança seja de 95 % , o z c r í t i c o = 1,96 , pra sabermos se vamos rejeitar ou não os valores vamos ver se:

z ≥ z c r í t i c o

z ≤ - z c r í t i c o

Nesse caso temos z < - z c r í t i c o , então vamos rejeitar os valores!

Resuminho

  1. Escrever a hipótese nula H 0 ∴ μ = μ 0  
  2. Calcular z z = x - - μ 0 σ N
  3. Determinar a hipótese alternativa H a e a região de rejeição:

Para H a : μ ≠ μ 0 , rejeitar H 0 se z ≥ z c r í t i c o ou z ≤ - z c r í t i c o

Para H a : μ > μ 0 , rejeitar H 0 se z ≥ z c r í t i c o

Para H a : μ < μ 0 , rejeitar H 0 se z ≤ - z c r í t i c o

Teste t

Sou só eu ou você também achou loucura repetir o mesmo experimento 30 vezes?! Haahah

Pois é, muitas vezes é complicado ter acesso a uma amostra tão grande, então para uma amostra pequena a gente vai usar o teste t !

Agora que já entendemos o espirito da coisa, vamos direto para o passo a passo:

  1. Escrever a hipótese nula H 0 ∴ μ = μ 0  
  2. Calcular t t = x - - μ 0 s / N
  3. Determinar a hipótese alternativa H a e a região de rejeição:

Para H a : μ ≠ μ 0 , rejeitar H 0 se t ≥ t c r í t i c o ou t ≤ - t c r í t i c o

Para H a : μ > μ 0 , rejeitar H 0 se t ≥ t c r í t i c o

Para H a : μ < μ 0 , rejeitar H 0 se t ≤ - t c r í t i c o

Vamos pegar o mesmo exemplo, mas dessa vez vamos considerar que o teste tenha sido feito em triplicata, ou seja, 3 vezes!

A hipótese nula continua sendo a mesma:

H 0 ∴ μ = 30,8   k c a l / m o l

Dessa vez achamos a média x - = 29,5   k c a l / m o l e o desvio padrão s = 0,62   k c a l / m o l . Calculando t :

t = x - - μ 0 s / N = 29,5 - 30,8 0,62 / 3 = - 3,63

Agora a gente consulta outra tabelinha que também vimos lá atrás:

Se o número de amostras é N = 3 , então temos 2 graus de liberdade, portanto para um nível de confiança de 95 % t c r í t i c o = 4,30

Então temos:

t > - t c r í t i c o

Então a hipótese nula é válida!!

Teste F

O teste F é um pouquinho diferente, usamos ele para comparar a variância de dois conjuntos de dados!

A gente escreve assim:

F = s 1 2 s 2 2

Onde s 1 e s 2 são os desvio padrão de dois conjuntos de dados, sendo que o desvio padrão no numerador deve ser sempre o maior, de forma que F ≥ 1 .A hipótese nula é:

H 0 ∴ σ 1 2 = σ 2 2

A hipótese nula deve ser descartada se F se afastar muito de 1 .

H 0 ∴ σ 1 2 ≠ σ 2 2

H 0 ∴ σ 1 2 > σ 2 2

Não existe a opção σ 1 2 < σ 2 2 , já que o maior desvio padrão deve ficar no numerador.

Onde s 1 e s 2 são o desvio padrão das duas séries de dados, e a expressão é arranjada de forma que F seja sempre maior que 1 , ou seja, a maior variância fica no numerador e a menor no denominador.

Após calcularmos F , devemos consultar a seguinte tabela:

Essa tabela é para um nível de confiança de 95 % , com ela a gente acha F c r i t . Se F < F c r í t então consideramos a hipótese nula verdadeira.

Teste t

Teste F

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma turma de 30 alunos determinou a energia de ativação de uma reação química como sendo 116   K J   m o l - 1 (valor médio) com um desvio padrão de 22   K J   m o l - 1 . O valor está de acordo com o da literatura de 129   K J   m o l - 1 para:

  1. Um nível de confiança de 95 % ?
  2. Um nível de confiança de 99 % ?

Passo 1

Seguinte pessoal, temos aqui uma série de dados onde foi encontrado um valor médio, e precisamos descobrir se esse valor médio é compatível com o da literatura, ou seja se os valores são equivalentes e se a diferença entre eles decorre puramente de erros aleatórios. Sendo assim, nossa hipótese nula será:

H 0 : μ = μ 0

Ou seja, o valor é igual ao da literatura.

Para testar essa hipótese, como temos um grande número de amostras, podemos usar o teste z, que é o teste que compara a média de uma série de valores com um valor já conhecido quando temos um número grande de amostras.

Passo 2

Para calcular z , usaremos a seguinte fórmula:

z = x - - μ 0 σ / N

Tudo que precisamos nessa fórmula foi nos dado no enunciado, olha só:

x - = 116   K J   m o l - 1

μ 0 = 129   K J   m o l - 1

σ = 22   K J   m o l - 1

N = 30

Substituindo tudo na fórmula, teremos:

z = 116 - 129 22 / 30 = - 3,2 4

Passo 3

Agora que já encontramos o valor de z, precisamos comparar ele com os valores da tabela abaixo:

Se | z | < z c r i t o teste passou, e a hipótese nula é verdadeira,caso contrário, o teste falhou e a hipótese nula é falsa.

Para um nível de confiança de 95 % , o valor tabelado de   z é 1,96 , que é menor que o valor de z encontrado, e portanto a hipótese nula é falsa.

Para o nível de confiança de 99 % , o valor crítico de z é 2,58 , que também é menor que o valor encontrado pelos dados dos alunos, e portanto a hipótese nula também é falsa.

Resposta

A média encontrada pelos alunos não é igual ao valor da literatura nem num nível de confiança de 99 % nem de 95 % .

Exercício Resolvido #2

Um método padrão para a determinação de glucose em soro tem desvio padrão de 0,38   m g / d L . Se s = 0,38 é uma boa aproximação para σ , quantas determinações precisarão ser feitas para que a média da análise da amostra esteja entre:

  1. 0,3   m g / d L da média real 99 % das vezes?
  2. 0,3   m g / d L da média real 95 % das vezes?
  3. 0,2   m g / d L da média real 90 % das vezes?

Passo 1

Nesse exercício, precisamos comparar o valor da média encontrada no método utilizado com o valor da média real. Ou seja:

H 0 : μ = μ 0

Isso é um indicativo que termos que usar ou teste z ou teste t, que são os dois métodos que comparam uma média com um valor real. Entretanto, como o exercício já nos diz que o desvio padrão da amostra ( s ) pode ser aproximado ao desvio padrão da população ( σ ), isso é um indicativo que devemos usar o teste z e não o teste t, uma vez que o teste z é feito sob essa hipótese, de que s é suficientemente próximo de σ .

Passo 2

Para definir quantas amostras serão necessárias, usaremos a fórmula abaixo:

z = x - - μ 0 σ / N

O valor de x - e μ 0 não foi dado, entretanto, foi dado a diferença entre eles em cada item, portanto usaremos essa diferença no denominador da nossa expressão.

O valor de z nós pegaremos da tabela de z:

Para cada nível de confiança.

Por fim, o valor de σ foi dado e é 0,38 . Portanto, temos apenas uma variável na equação, que é justamente o número de amostras que precisaremos encontrar.

Passo 3

Sendo assim, para o primeiro item teremos:

x - - μ 0 = 0,3

σ = 0,38

z   99 % = 2,58

Jogando tudo na expressão:

2,58 = 0,3 0,38 / N

Calculando N , termos:

N = 10,68

Como o número de replicatas deve ser inteiro, teremos então N = 11 .

Passo 4

Para o segundo item:

x - - μ 0 = 0,3

σ = 0,38

z   95 % = 1,96

Jogando tudo na expressão:

1,96 = 0,3 0,38 / N

Calculando N , termos:

N = 6,16

Como o número de replicatas deve ser inteiro, teremos então N = 7 .

Passo 5

Por fim, para o terceiro item:

x - - μ 0 = 0,2

σ = 0,38

z   90 % = 1,64

Jogando tudo na expressão:

1,64 = 0,2 0,38 / N

Calculando N , termos:

N = 9,71

Como o número de replicatas deve ser inteiro, teremos então N = 10 .

Resposta

  1. N = 11
  2. N = 7
  3. N = 10

Exercício Resolvido #3

Um novo procedimento para a determinação do enxofre em querosene foi testado em uma amostra sabendo que sal preparação foi feita com 0,123 %   S ( μ 0 = 0,123 %   S ). Os resultados para a concentração de S em porcentagem foram 0,112 , 0,128 , 0,115 e 0,119 . Os resultados indicam que existem algum viés no método em um nível de confiança de 95 % ?

Passo 1

Precisamos comparar a média obtida pelos resultados do novo método com o valor em que a solução foi padronizado e ver se o método é eficiente ou não.

H 0 : μ = μ 0

Isso é um indicativo que teremos que usar ou teste z ou teste t, que são os dois métodos que comparam uma média com um valor real. Porém, como aqui temos um número reduzido de valores obtidos, apenas quatro, usaremos então o teste t.

Passo 2

Para isso, precisaremos calcular o valor de t através da fórmula abaixo:

t = x - - μ 0 s / N

O valor de μ 0 já foi dado no enunciado, e os valores de x - pode ser calculado conforme abaixo:

x - = ∑ x 1 N

x - = 0,112 + 0,118 + 0,115 + 0,119 4 = 0,116 %   S

Já o desvio padrão da amostra pode ser calculado conforme a fórmula abaixo:

s = ∑ x i - x - N - 1

s = 0,112 - 0,116 2 + 0,118 - 0,116 2 + 0,115 - 0,116 2 + 0,119 - 0,116 2 4 - 1

s = 0,0032 % S

Passo 3

Agora que já temos a média e o desvio padrão da amostra, podemos calcular o valor de t :

t = x - - μ 0 s / N

Com:

x - = 0,116   %   S

μ 0 = 0,123   %   S

s = 0,0032   %   S

N = 4

Com isso, teremos:

t = 0,116 - 0,123 0,0032 / 4 = - 4,375

Passo 4

Para saber se o método é confiável, ou seja, se ele não está enviesado, o módulo de t deve ser menor que o t c r i t . Para isso, consultaremos a tabela com valores de t :

O grau de liberdade é igual a N - 1 , ou seja, 3 . Já o nível de confiança foi dado no enunciado e é 95 % , portanto, o valor de t c r i t será:

t c r i t = 3,18

Como t > t c r i t , concluímos que o método não é confiável a um nível de confiança de 95 % e está sim enviesado.

Resposta

Método enviesado, t > t c r i t .

Exercício Resolvido #4

Numa investigação forense, uma taça contendo vinho tinto e uma garrafa aberta tiveram o seu teor de álcool analisados de forma a determinar se o vinho na taça veio da garrafa. Com seis análises, a média de álcool no vinho na taça foi definida como 12,61 % . Quatro análises foram feitas no vinho da garrafa o que resultou num teor de álcool de 12,53 % . As dez análises geraram um desvio padrão combinado de s c o m b = 0,070 % . Os dados indicam uma diferença entre os vinhos?

Passo 1

Neste caso, temos que comparar a média de duas séries de dados. Ou seja, temos que dizer se o resultado encontrado para o vinho na taça é estatisticamente igual ao resultado encontrado para o vinho na garrafa. Ou seja, nossa hipótese nula é a seguinte:

H 0 : μ 1 = μ 2

Para testar esse hipótese, como temos uma quantidade baixa de resultados e o desvio padr]ão amostral não poderá ser aproximado ao desvio padrão populacional, usaremos o teste t que compara duas médias:

t = x 1 - - x 2 - s c o m b N 1 + N 2 N 1 N 2

Passo 2

As médias para as duas análises já foram dadas no enunciado assim como o desvio padrão combinado, portanto:

x - 1 = 12,61 %

x - 2 = 12,53 %

s c o m b = 0,070 %

N 1 = 6

N 2 = 4

Jogando tudo na fórmula:

t = 12,61 - 12,53 0,070 6 + 4 6 × 4

t = 1,77

Passo 3

Com o valor de t em mãos, precisamos ir para a tabela de t determinar o t crítico.

Como não foi dado o nível de confiança, vamos supor ele como sendo 95 % que é o mais comum de aparecer. O grau de liberdade é igual a soma das duas amostras menos dois, ou seja: N 1 + N 2 - 2 = 8 .

O t c r i t para esse caso será então:

t c r i t = 2,31

Com o valor de t encontrado é menor que o t c r i t , pode-se concluir que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, as duas médias são iguais e o vinho na taça pode ter vindo da garrafa.

Resposta

Não há diferença na concentração de álcool dos vinhos.

Exercício Resolvido #5

Um método padrão para a determinação de monóxido de carbono (CO) em misturas gasosas é conhecido por centenas de medidas por ter um desvio padrão de 0,21   p p m   C O . Uma modificação no método torna o valor de s igual a 0,015   p p m   C O para um grupo de 12 graus de liberdade. Uma seguda modificação, também baseada em 12 graus de liberdade, tem desvio padrão de 0,12   p p m   C O . Alguma das modificações é significantemente mais precisa que o método padrão?

Passo 1

Bom, vamos lá pessoal. A historinha é a seguinte: tem esse método, super antigo usado para determinar CO. Sabe-se através de centenas de medidas que o desvio padrão para esse método é 0,21   p p m   C O . Aí o pessoal não estava muito satisfeito, e queria melhorar a precisão desse método, ou seja, diminuir o desvio padrão dele. Fizeram uma modificação e um teste com 12 graus de liberdade e encontraram desvio padrão de 0,015   p p m   C O . Não ficaram satisfeitos, e fizeram outra modificação e mais testes e encontraram dessa vez o desvio padrão de 0,12   p p m   C O , também com 12 graus de liberdade.

Olhando assim, parece que de fato melhorou, o desvio padrão diminui, mas a pergunta é: 12 graus de liberdade são suficientes para afirmar com certeza que as modificações tornaram o método mais preciso?

Então, precisamos realizar um teste F, que é o teste que compara as variâncias. A nossa hipótese nula será que as variâncias são iguais. Se o teste passar, ou seja, a hipótese nula for verdadeira, então quer dizer que uma variância é igual a outra, e que a modificação não tornou o método mais preciso. Se o teste não passar, as variâncias serão significativamente diferentes e a modificação de fato terá deixado o método mais preciso.

Passo 2

O teste F é feito simplesmente dividindo uma variância pela outra, ou seja, para a primeira modificação:

F 1 = s p a d r ã o 2 s 1 2 = 0,21 2 0,15 2 1,96

Para o segundo método:

F 2 = s p a d r ã o 2 s 2 2 = 0,21 2 0,12 2 = 3,06

Passo 3

Agora que já encontramos os dois valores de F para as duas modificações, devemos encontrar o F c r i t na tabela abaixo. Como o enunciado não falou qual nível de confiança usar, vamos usar a tabela de nível de confiança de 95 % pois esse é um valor bastante usual e satisfatório de nível de confança

Como no nosso numerador temos o teste padrão com centenas de resultados, consideraremos o grau de liberdade infinito para o numerador. Já o grau de liberdade do denominador é 12 para ambos os casos.

Sendo assim:

F c r i t = 2,30

Portanto temos:

F 1 < F c r i t

F 2 > F c r i t

Sendo assim, o método 1 passou no teste, e teve sua hipótese nula validada, ou seja, as a variância do método padrão e do método com a primeira modificação não tem diferença significativa. Já para a modificação 2, o valor de F calculado foi maior que o do F crítico, portanto as variâncias não podem ser consideradas iguais, e a modificação 2 de fato torna o método mais preciso.

Resposta

Modificação 1 não altera a variância, modificação 2 torna o método mais preciso.

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