Teste de Hipóteses

Seguinte pessoal, temos aqui uma série de dados onde foi encontrado um valor médio, e precisamos descobrir se esse valor médio é compatível com o da literatura, ou seja se os valores são equivalentes e se a diferença entre eles decorre puramente de erros aleatórios. Sendo assim, nossa hipótese nula será:

Ou seja, o valor é igual ao da literatura.

Para testar essa hipótese, como temos um grande número de amostras, podemos usar o teste z, que é o teste que compara a média de uma série de valores com um valor já conhecido quando temos um número grande de amostras.

Para calcular , usaremos a seguinte fórmula:

Tudo que precisamos nessa fórmula foi nos dado no enunciado, olha só:

Substituindo tudo na fórmula, teremos:

Agora que já encontramos o valor de z, precisamos comparar ele com os valores da tabela abaixo:

Se o teste passou, e a hipótese nula é verdadeira,caso contrário, o teste falhou e a hipótese nula é falsa.

Para um nível de confiança de , o valor tabelado de é , que é menor que o valor de encontrado, e portanto a hipótese nula é falsa.

Para o nível de confiança de , o valor crítico de é , que também é menor que o valor encontrado pelos dados dos alunos, e portanto a hipótese nula também é falsa.

Nesse exercício, precisamos comparar o valor da média encontrada no método utilizado com o valor da média real. Ou seja:

Isso é um indicativo que termos que usar ou teste z ou teste t, que são os dois métodos que comparam uma média com um valor real. Entretanto, como o exercício já nos diz que o desvio padrão da amostra () pode ser aproximado ao desvio padrão da população (), isso é um indicativo que devemos usar o teste z e não o teste t, uma vez que o teste z é feito sob essa hipótese, de que é suficientemente próximo de .

Para definir quantas amostras serão necessárias, usaremos a fórmula abaixo:

O valor de e não foi dado, entretanto, foi dado a diferença entre eles em cada item, portanto usaremos essa diferença no denominador da nossa expressão.

O valor de nós pegaremos da tabela de z:

Para cada nível de confiança.

Por fim, o valor de foi dado e é . Portanto, temos apenas uma variável na equação, que é justamente o número de amostras que precisaremos encontrar.

Sendo assim, para o primeiro item teremos:

Jogando tudo na expressão:

Calculando , termos:

Como o número de replicatas deve ser inteiro, teremos então .

Para o segundo item:

Jogando tudo na expressão:

Calculando , termos:

Como o número de replicatas deve ser inteiro, teremos então .

Por fim, para o terceiro item:

Jogando tudo na expressão:

Calculando , termos:

Como o número de replicatas deve ser inteiro, teremos então .

Precisamos comparar a média obtida pelos resultados do novo método com o valor em que a solução foi padronizado e ver se o método é eficiente ou não.

Isso é um indicativo que teremos que usar ou teste z ou teste t, que são os dois métodos que comparam uma média com um valor real. Porém, como aqui temos um número reduzido de valores obtidos, apenas quatro, usaremos então o teste t.

Para isso, precisaremos calcular o valor de através da fórmula abaixo:

O valor de já foi dado no enunciado, e os valores de pode ser calculado conforme abaixo:

Já o desvio padrão da amostra pode ser calculado conforme a fórmula abaixo:

Agora que já temos a média e o desvio padrão da amostra, podemos calcular o valor de :

Com:

Com isso, teremos:

Para saber se o método é confiável, ou seja, se ele não está enviesado, o módulo de deve ser menor que o . Para isso, consultaremos a tabela com valores de :

O grau de liberdade é igual a , ou seja, . Já o nível de confiança foi dado no enunciado e é , portanto, o valor de será:

Como , concluímos que o método não é confiável a um nível de confiança de e está sim enviesado.

Neste caso, temos que comparar a média de duas séries de dados. Ou seja, temos que dizer se o resultado encontrado para o vinho na taça é estatisticamente igual ao resultado encontrado para o vinho na garrafa. Ou seja, nossa hipótese nula é a seguinte:

Para testar esse hipótese, como temos uma quantidade baixa de resultados e o desvio padr]ão amostral não poderá ser aproximado ao desvio padrão populacional, usaremos o teste t que compara duas médias:

As médias para as duas análises já foram dadas no enunciado assim como o desvio padrão combinado, portanto:

Jogando tudo na fórmula:

Com o valor de t em mãos, precisamos ir para a tabela de t determinar o t crítico.

Como não foi dado o nível de confiança, vamos supor ele como sendo que é o mais comum de aparecer. O grau de liberdade é igual a soma das duas amostras menos dois, ou seja: .

O para esse caso será então:

Com o valor de encontrado é menor que o , pode-se concluir que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, as duas médias são iguais e o vinho na taça pode ter vindo da garrafa.

Bom, vamos lá pessoal. A historinha é a seguinte: tem esse método, super antigo usado para determinar CO. Sabe-se através de centenas de medidas que o desvio padrão para esse método é . Aí o pessoal não estava muito satisfeito, e queria melhorar a precisão desse método, ou seja, diminuir o desvio padrão dele. Fizeram uma modificação e um teste com 12 graus de liberdade e encontraram desvio padrão de . Não ficaram satisfeitos, e fizeram outra modificação e mais testes e encontraram dessa vez o desvio padrão de , também com 12 graus de liberdade.

Olhando assim, parece que de fato melhorou, o desvio padrão diminui, mas a pergunta é: 12 graus de liberdade são suficientes para afirmar com certeza que as modificações tornaram o método mais preciso?

Então, precisamos realizar um teste F, que é o teste que compara as variâncias. A nossa hipótese nula será que as variâncias são iguais. Se o teste passar, ou seja, a hipótese nula for verdadeira, então quer dizer que uma variância é igual a outra, e que a modificação não tornou o método mais preciso. Se o teste não passar, as variâncias serão significativamente diferentes e a modificação de fato terá deixado o método mais preciso.

O teste F é feito simplesmente dividindo uma variância pela outra, ou seja, para a primeira modificação:

Para o segundo método:

Agora que já encontramos os dois valores de para as duas modificações, devemos encontrar o na tabela abaixo. Como o enunciado não falou qual nível de confiança usar, vamos usar a tabela de nível de confiança de pois esse é um valor bastante usual e satisfatório de nível de confança

Como no nosso numerador temos o teste padrão com centenas de resultados, consideraremos o grau de liberdade infinito para o numerador. Já o grau de liberdade do denominador é 12 para ambos os casos.

Sendo assim:

Portanto temos:

Sendo assim, o método 1 passou no teste, e teve sua hipótese nula validada, ou seja, as a variância do método padrão e do método com a primeira modificação não tem diferença significativa. Já para a modificação 2, o valor de calculado foi maior que o do crítico, portanto as variâncias não podem ser consideradas iguais, e a modificação 2 de fato torna o método mais preciso.