Enunciado

Cinco laboratórios diferentes participaram de um estudo interlaboratorial envolvendo determinações dos níveis de F e em amostras de água. Os seguintes resultados são réplicas de determinações de p p m de F e para os laboratórios A-E.

  1. Defina as hipóteses apropriadas.
  2. Os laboratórios diferem em um nível de confiança de 95%? E a um nível de confiança de 99% ( F c r í t = 5,99 )? E ao nível de confiança de 99,9% ( F c r í t = 11,28 )?
  3. Que laboratórios são diferentes dos outros em um nível de confiança de 95%?

Passo 1

Oi pessoal, vamos resolver esse exercício passo a passo, e tenho certeza que no final tirarei todas as suas dúvidas.

No item (a) queremos definir as hipóteses apropriadas, onde a hipótese nula ( H 0 ) é quando duas ou mais quantidades observadas são iguais e a hipótese alternativa ( H a ) é o complemento da hipótese nula, então para nosso exercício temos que:

H 0 :   μ A = μ B = μ C = μ D = μ E                                 H a : a o   m e n o s   d u a s   m é d i a s   d i f e r e m

Passo 2

No item (b) precisamos saber se existe diferença significativa entre os laboratórios, para isso iremos preencher o quadro abaixo passo a passo:

Como são cinco laboratórios:

I = 5

E para cada laboratório temos 3 réplicas:

N = 5 ∙ 3 = 15

Com isso conseguimos definir nossos graus de liberdade. Para o fator:

g l F = I - 1 = 5 - 1

g l F = 4

Para o erro:

g l E = N - I = 15 - 5

g l E = 10

E do total:

g l T = N - 1 = 15 - 1

g l T = 14

Passo 3

Como queremos calcular a soma dos quadrados do fator ( S Q F ) e do erro ( S Q E ):

S Q F = N A x - A - x ̿ 2 + N B x - B - x ̿ 2 + N C x - C - x ̿ 2 + N D x - D - x ̿ 2 + N E x - E - x ̿ 2

S Q E = N A - 1 ∙ s A 2 + N B - 1 ∙ s B 2 + N C - 1 ∙ s C 2 + N D - 1 ∙ s D 2 + N E - 1 ∙ s E 2

Precisamos calcular a média e do desvio padrão de cada laboratório, para isso iremos utilizar as equações:

Então temos o seguinte:

Com esses valores conseguimos calcular a média ( x - ) e o desvio padrão ( s ):

Agora conseguimos calcular a média global:

x ̿ = N I N ∙ x - A + x - B + x - C + x - D + x - E = 3 15 ∙ ( 10,50 + 9,67 + 10,17 + 9,03 + 10,73 )

x ̿ = 10,02

Por fim conseguimos calcular a Soma dos Quadrados do fator:

S Q F = 3 ∙ 10,5 - 10,02 2 + 3 ∙ 9,7 - 10,02 2 + 3 ∙ 10,2 - 10,02 2 + 3 ∙ 9,0 - 10,02 2 + 3 ∙ 10,7 - 10,02 2

S Q F = 5,58

E do erro:

S Q E = 3 - 1 ∙ 0,82 2 + 3 - 1 ∙ 0,21 2 + 3 - 1 ∙ 0,21 2 + 3 - 1 ∙ 0,38 2 + 3 - 1 ∙ 0,32 2

S Q E = 2,01

Agora podemos calcular os valores médios quadrados M Q F e M Q E :

M Q F = S Q F I - 1 = 5,58 4 = 1,395

M Q E = S Q E N - I = 2,01 10 = 0,201

E finalmente obtemos o valor F é obtido a partir da seguinte equação:

F = M Q F M Q E = 1,395 0,201

F = 6,94

Pela Tabela de distribuição F , para 95% de confiança com 4 e 10 graus de liberdade, temos:

F c r i t = 3,48

E pelo enunciado sabemos que para 99% de confiança, temos F c r í t = 5,99 . E ao nível de confiança de 99,9%, F c r í t = 11,28 .

Sendo assim, para o nível de confiança de 95% e 99% temos que F > F c r i t , então há diferença entre os laboratórios. Porém, para 99,9% de confiança não há diferença, porque F < F c r i t .

Passo 4

No item (c) queremos saber quais laboratórios diferem para um nível de confiança de 95%. Primeiro iremos organizar as médias em ordem crescente:

Foram realizadas 3 repetições para cada laboratório e iremos utilizar a equação da diferença menos significativa ( D M S ):

D M S = t ∙ 2 ∙ M Q E N g

Onde:

N g número igual de réplicas em cada grupo;

M Q E quadrado da média para o erro

t com graus de liberdade relativo ao erro.

Pela Tabela da distribuição t com 10 graus de liberdade e 95% de confiança:

t = 2,23

Logo:

D M S = 2,23 ∙ 2 ∙ 0,201 3

D M S = 0,82

Agora calculamos as diferenças nas médias e comparamos com 0,82. Para vários pares:

x - D = 9,03 (menor);

x - B = 9,67 ;

x - C = 10,17 ;

x - A = 10,50 ;

x - E = 10,73 (maior).

Testando cada par e comparando com 0,82:

x - E - x - D = 10,73 - 9,03 = 1,70 (diferença significativa)

x - A - x - D = 10,50 - 9,03 = 1,47 (diferença significativa)

x - C - x - D = 10,17 - 9,03 = 1,14 (diferença significativa)

x - B - x - D = 9,67 - 9,03 = 0,64 (diferença não significativa)

x - E - x - B = 10,73 - 9,67 = 1,06 (diferença significativa)

x - A - x - B = 10,50 - 9,67 = 0,83 (diferença significativa)

x - C - x - B = 10,17 - 9,67 = 0,50 (diferença não significativa)

x - E - x - C = 10,73 - 10,17 = 0,56 (diferença não significativa)

x - A - x - C = 10,50 - 10,17 = 0,33 (diferença não significativa)

x - E - x - A = 10,73 - 10,50 = 0,23 (diferença não significativa)

O laboratório D é diferente dos laboratórios A, C e E, mas não é diferente do laboratório B. O laboratório B difere dos laboratórios A e E, mas não difere do laboratório C. Não há diferença significativa entre os laboratórios A, C e E.

Até mais pessoal.

Resposta

  1. H 0 :   μ A = μ B = μ C = μ D = μ E ;
  2. H a : a o   m e n o s   d u a s   m é d i a s   d i f e r e m .

  3. Os laboratórios diferem para um nível de confiança de 95% e 99%, mas não diferem no nível de confiança de 99,9%.
  4. O laboratório D é diferente dos laboratórios A, C e E, mas não é diferente do laboratório B. O laboratório B difere dos laboratórios A e E, mas não difere do laboratório C. Não há diferença significativa entre os laboratórios A, C e E.

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