Enunciado

Quatro analistas realizaram conjuntos de réplicas de determinações de H g nas mesmas amostras analíticas. Os resultados, expressos em p p b de H g , são mostrados na tabela que segue:

  1. Defina as hipóteses apropriadas.
  2. Os analistas diferem a um nível de confiança de 95%? E ao nível de confiança de 99% ( F c r í t = 5,95 )? E ao nível de confiança de 99,9% ( F c r í t = 10,80 )?
  3. Que analistas diferem dos outros a um nível de confiança de 95%?

Passo 1

Oi pessoal, vamos resolver esse exercício passo a passo, e tenho certeza que no final tirarei todas as suas dúvidas.

No item (a) queremos definir as hipóteses apropriadas, onde a hipótese nula ( H 0 ) é quando duas ou mais quantidades observadas são iguais e a hipótese alternativa ( H a ) é o complemento da hipótese nula, então para nosso exercício temos que:

H 0 :   μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4                                                         H a : a o   m e n o s   d u a s   m é d i a s   d i f e r e m

Passo 2

No item (b) precisamos saber se existe diferença significativa entre os analistas, para isso iremos preencher o quadro abaixo passo a passo:

Como são quatro analistas:

I = 4

E para cada analista temos 4 réplicas:

N = 4 ∙ 4 = 1 6

Com isso conseguimos definir nossos graus de liberdade. Para o fator:

g l F = I - 1 = 4 - 1

g l F = 3

Para o erro:

g l E = N - I = 1 6 - 4

g l E = 1 2

E do total:

g l T = N - 1 = 1 6 - 1

g l T = 1 5

Passo 3

Como queremos calcular a soma dos quadrados do fator ( S Q F ) e do erro ( S Q E ):

S Q F = N 1 x - 1 - x ̿ 2 + N 2 x - 2 - x ̿ 2 + N 3 x - 3 - x ̿ 2 + N 4 x - 4 - x ̿ 2

S Q E = N 1 - 1 ∙ s 1 2 + N 2 - 1 ∙ s 2 2 + N 3 - 1 ∙ s 3 2 + N 4 - 1 ∙ s 4 2

Precisamos calcular a média e do desvio padrão de cada laboratório, para isso iremos utilizar as equações:

Então temos o seguinte:

Com esses valores conseguimos calcular a média ( x - ) e o desvio padrão ( s ):

Agora conseguimos calcular a média global:

x ̿ = N I N ∙ x - 1 + x - 2 + x - 3 + x - 4 = 4 1 6 ∙ ( 10 , 2550 + 10,0925 + 10,1 425 + 10,1500 )

x ̿ = 10 , 16

Por fim conseguimos calcular a Soma dos Quadrados do fator:

S Q F = 4 ∙ 10 , 2550 - 10 , 16 2 + 4 ∙ 10,0925 - 10 , 16 2 + 4 ∙ 10 , 1425 - 10 , 16 2 + 4 ∙ 10,1500 - 10 , 16 2

S Q F = 0,05595

E do erro:

S Q E = 4 - 1 ∙ 0 , 02646 2 + 4 - 1 ∙ 0 , 04573 2 + 4 - 1 ∙ 0 , 03594 2 + 4 - 1 ∙ 0 , 03742 2

S Q E = 0,01645

Agora podemos calcular os valores médios quadrados M Q F e M Q E :

M Q F = S Q F I - 1 = 0,05595 3 = 0,01865

M Q E = S Q E N - I = 0,01645 1 2 = 0 , 001371

E por fim, calculamos nosso valor F a partir da seguinte equação:

F = M Q F M Q E = 0,01865 0 , 001371

F = 13,60

Pela Tabela de distribuição F , para 95% de confiança com 3 e 12 graus de liberdade, temos:

F c r i t = 3,4 9

E pelo enunciado temos que para o nível de confiança de 99% o F c r í t = 5,95 , e para 99,9%, F c r í t = 10,80 .

Para o nível de confiança de 95% e 99% temos que F > F c r i t , então há diferença entre os analistas. Porém, para 99,9% de confiança não há diferença, porque F < F c r i t .

Passo 4

No item (c) queremos saber quais analistas diferem para um nível de confiança de 95%. Primeiro iremos organizar as médias em ordem crescente:

Foram realizadas 4 repetições para cada laboratório e iremos utilizar a equação da diferença menos significativa ( D M S ):

D M S = t ∙ 2 ∙ M Q E N g

Onde:

N g número igual de réplicas em cada grupo;

M Q E quadrado da média para o erro

t com graus de liberdade relativo ao erro.

Pela Tabela da distribuição t com 12 graus de liberdade e 95% de confiança:

t = 2 , 179

Logo:

D M S = 2 , 179 ∙ 2 ∙ 0,001371 4

D M S = 0 , 0571

x - 2 = 10,0925 (menor);

x - 3 = 10,1425 ;

x - 4 = 10,1 500 ;

x - 1 = 10 , 25 50 (maior).

Testando cada par e comparando com 0,0571:

x - 1 - x - 2 = 10 , 2550 - 10,0925 = 0,1625 (diferença significativa)

x - 4 - x - 2 = 10 , 1 5 0 0 - 10 , 0 925 = 0,0575 (diferença significativa)

x - 3 - x - 2 = 10,1 425 - 10,0925 = 0 , 05 (diferença não significativa)

x - 1 - x - 3 = 10 , 2550 - 10,1425 = 0,1125 (diferença significativa)

x - 4 - x - 3 = 10 , 1 5 0 0 - 10,1425 = 0 , 0075 (diferença não significativa)

x - 1 - x - 4 = 10 , 2550 - 10,1 500 = 0 , 105 (diferença significativa)

O Analista 2 difere dos Analistas 1 e 4, mas não difere do Analista 3. O Analista 3 difere do Analista 1, mas não difere do Analista 4. O Analista 1 e 4 diferem um do outro.

Sei que este exercício é complicadinho, mas espero ter ajudado, te vejo em breve.

Resposta

  1. H 0 :   μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 ;
  2. H a : a o   m e n o s   d u a s   m é d i a s   d i f e r e m .

  3. Os analistas diferem para um nível de confiança de 95% e 99%, mas não diferem no nível de confiança de 99,9%.
  4. Para um nível de confiança de 95%, o Analista 2 difere dos Analistas 1 e 4, mas não difere do Analista 3. O Analista 3 difere do Analista 1, mas não difere do Analista 4. O Analista 1 e 4 diferem um do outro.

Exercícios de Livros Relacionados

Três métodos analíticos diferentes são comparados em relação à determinação de Ca. Estamos interessados em saber se os métodos diferem entre si. Os resultados, expressos em ppm de Ca, representam dete
Os níveis de um poluente presente em um rio localizado próximo a uma indústria química têm sido monitorados regularmente. O nível normal do poluente tem sido estabelecido com base em análises químicas
Defina quantitativamente as hipóteses nula H 0 e alternativa H a para as situações dadas a seguir e descreva os erros tipo I e II. Se essas hipóteses forem testadas estatisticamente, comente se um tes
Defina quantitativamente as hipóteses nula H 0 e alternativa H a para as situações dadas a seguir e descreva os erros tipo I e II. Se essas hipóteses forem testadas estatisticamente, comente se um tes
Foi realizado um estudo para determinar a energia de ativação E A para uma reação química. A constante de velocidade k foi determinada em função da temperatura T e foram obtidos os dados contidos na t