Quatro analistas realizaram conjuntos de réplicas de determinações de H g nas mesmas amostras analíticas. Os resultados, expressos em p p b de H g , são mostrados na tabela que segue:

  1. Defina as hipóteses apropriadas.
  2. Os analistas diferem a um nível de confiança de 95%? E ao nível de confiança de 99% ( F c r í t = 5,95 )? E ao nível de confiança de 99,9% ( F c r í t = 10,80 )?
  3. Que analistas diferem dos outros a um nível de confiança de 95%?

Passo 1

Oi pessoal, vamos resolver esse exercício passo a passo, e tenho certeza que no final tirarei todas as suas dúvidas.

No item (a) queremos definir as hipóteses apropriadas, onde a hipótese nula ( H 0 ) é quando duas ou mais quantidades observadas são iguais e a hipótese alternativa ( H a ) é o complemento da hipótese nula, então para nosso exercício temos que:

H 0 :   μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4                                                         H a : a o   m e n o s   d u a s   m é d i a s   d i f e r e m

Passo 2

No item (b) precisamos saber se existe diferença significativa entre os analistas, para isso iremos preencher o quadro abaixo passo a passo:

Como são quatro analistas:

I = 4

E para cada analista temos 4 réplicas:

N = 4 ∙ 4 = 1 6

Com isso conseguimos definir nossos graus de liberdade. Para o fator:

g l F = I - 1 = 4 - 1

g l F = 3

Para o erro:

g l E = N - I = 1 6 - 4

g l E = 1 2

E do total:

g l T = N - 1 = 1 6 - 1

g l T = 1 5

Passo 3

Como queremos calcular a soma dos quadrados do fator ( S Q F ) e do erro ( S Q E ):

S Q F = N 1 x - 1 - x ̿ 2 + N 2 x - 2 - x ̿ 2 + N 3 x - 3 - x ̿ 2 + N 4 x - 4 - x ̿ 2

S Q E = N 1 - 1 ∙ s 1 2 + N 2 - 1 ∙ s 2 2 + N 3 - 1 ∙ s 3 2 + N 4 - 1 ∙ s 4 2

Precisamos calcular a média e do desvio padrão de cada laboratório, para isso iremos utilizar as equações:

Então temos o seguinte:

Com esses valores conseguimos calcular a média ( x - ) e o desvio padrão ( s ):

Agora conseguimos calcular a média global:

x ̿ = N I N ∙ x - 1 + x - 2 + x - 3 + x - 4 = 4 1 6 ∙ ( 10 , 2550 + 10,0925 + 10,1 425 + 10,1500 )

x ̿ = 10 , 16

Por fim conseguimos calcular a Soma dos Quadrados do fator:

S Q F = 4 ∙ 10 , 2550 - 10 , 16 2 + 4 ∙ 10,0925 - 10 , 16 2 + 4 ∙ 10 , 1425 - 10 , 16 2 + 4 ∙ 10,1500 - 10 , 16 2

S Q F = 0,05595

E do erro:

S Q E = 4 - 1 ∙ 0 , 02646 2 + 4 - 1 ∙ 0 , 04573 2 + 4 - 1 ∙ 0 , 03594 2 + 4 - 1 ∙ 0 , 03742 2

S Q E = 0,01645

Agora podemos calcular os valores médios quadrados M Q F e M Q E :

M Q F = S Q F I - 1 = 0,05595 3 = 0,01865

M Q E = S Q E N - I = 0,01645 1 2 = 0 , 001371

E por fim, calculamos nosso valor F a partir da seguinte equação:

F = M Q F M Q E = 0,01865 0 , 001371

F = 13,60

Pela Tabela de distribuição F , para 95% de confiança com 3 e 12 graus de liberdade, temos:

F c r i t = 3,4 9

E pelo enunciado temos que para o nível de confiança de 99% o F c r í t = 5,95 , e para 99,9%, F c r í t = 10,80 .

Para o nível de confiança de 95% e 99% temos que F > F c r i t , então há diferença entre os analistas. Porém, para 99,9% de confiança não há diferença, porque F < F c r i t .

Passo 4

No item (c) queremos saber quais analistas diferem para um nível de confiança de 95%. Primeiro iremos organizar as médias em ordem crescente:

Foram realizadas 4 repetições para cada laboratório e iremos utilizar a equação da diferença menos significativa ( D M S ):

D M S = t ∙ 2 ∙ M Q E N g

Onde:

N g número igual de réplicas em cada grupo;

M Q E quadrado da média para o erro

t com graus de liberdade relativo ao erro.

Pela Tabela da distribuição t com 12 graus de liberdade e 95% de confiança:

t = 2 , 179

Logo:

D M S = 2 , 179 ∙ 2 ∙ 0,001371 4

D M S = 0 , 0571

x - 2 = 10,0925 (menor);

x - 3 = 10,1425 ;

x - 4 = 10,1 500 ;

x - 1 = 10 , 25 50 (maior).

Testando cada par e comparando com 0,0571:

x - 1 - x - 2 = 10 , 2550 - 10,0925 = 0,1625 (diferença significativa)

x - 4 - x - 2 = 10 , 1 5 0 0 - 10 , 0 925 = 0,0575 (diferença significativa)

x - 3 - x - 2 = 10,1 425 - 10,0925 = 0 , 05 (diferença não significativa)

x - 1 - x - 3 = 10 , 2550 - 10,1425 = 0,1125 (diferença significativa)

x - 4 - x - 3 = 10 , 1 5 0 0 - 10,1425 = 0 , 0075 (diferença não significativa)

x - 1 - x - 4 = 10 , 2550 - 10,1 500 = 0 , 105 (diferença significativa)

O Analista 2 difere dos Analistas 1 e 4, mas não difere do Analista 3. O Analista 3 difere do Analista 1, mas não difere do Analista 4. O Analista 1 e 4 diferem um do outro.

Sei que este exercício é complicadinho, mas espero ter ajudado, te vejo em breve.

Resposta

  1. H 0 :   μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 ;
  2. H a : a o   m e n o s   d u a s   m é d i a s   d i f e r e m .

  3. Os analistas diferem para um nível de confiança de 95% e 99%, mas não diferem no nível de confiança de 99,9%.
  4. Para um nível de confiança de 95%, o Analista 2 difere dos Analistas 1 e 4, mas não difere do Analista 3. O Analista 3 difere do Analista 1, mas não difere do Analista 4. O Analista 1 e 4 diferem um do outro.

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