Enunciado

A homogeneidade dos níveis de cloreto presente em uma amostra de água de um lago foi testada por meio de análises de porções retiradas do topo e do fundo da coluna de água, tendo apresentado os seguintes resultados, em p p m de C l - :

(a) Aplique o teste t em um nível de confiança de 95% para determinar se as médias são diferentes.

(b) Agora use o teste t pareado e determine se há diferença significativa entre os valores para o topo e fundo em um nível de confiança de 95%.

(c) Por que se chega a diferentes conclusões quando se usa o teste t pareado e quando apenas se combina os dados e se usa o teste t normal para diferenças nas médias?

Passo 1

Oi galerinha, vamos resolver esse exercício passo a passo. Vem comigo!

No item (a) queremos saber se há diferença entre as médias pelo teste t . Para isso iremos, primeiramente, definir nossas hipóteses nula ( H 0 ) e alternativa ( H a ):

H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2

O teste estatístico t é determinado por:

t = x - 1 - x - 2 s c o m b N 1 + N 2 N 1 ∙ N 2

Então primeiro iremos calcular a média para cada conjunto de dados ( x - 1 e x - 2 ), pela equação:

x - = ∑ x i N

E o desvio padrão combinado ( s c o m b ), pela equação:

s c o m b = ∑ x 1 - x - 1 2 + ∑ x 2 - x - 2 2 N 1 + N 2 - N t

Onde:

N t número total de conjunto de dados que estão sendo combinados.

Então:

A média do topo:

x - = 131,69 5 = 26,34

E do fundo:

x - = 131 , 27 5 = 26 , 25

O desvio padrão combinado será:

s c o m b = 0,0583 + 0,0567 5 + 5 - 2 = 0,12

Logo:

t = 26,34 - 26,25 0,12 ∙ 5 + 5 5 ∙ 5 = 1,19

O número de graus de liberdade para encontrar o valor crítico de t :

N 1 + N 2 - 2 = 5 + 5 - 2 = 8   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Então pela tabela, temos:

t c r i t = 2,31

Como t < t c r i t , aceitamos H 0 para um nível de confiança de 95% e concluímos que não há diferença entre as médias.

Passo 2

No item (b) queremos determinar se há diferença pelo teste t pareado. Este é utilizado para cancelar a variação nas amostras e focalizar nas diferenças dos métodos. Se μ d é a diferença média verdadeira entre os métodos, iremos testar as hipóteses:

H 0 : μ d = 0 H a : μ d ≠ 0

O teste estatístico é:

t = d - - 0 s d N

Então primeiro iremos calcular a média e o desvio padrão da diferença ( d - e s d ), pelas equações:

A diferença ( d i ) entre os dados é dada por:

d i = x T o p o - x F u n d o

Sendo assim:

d - = 0,42 5 = 0 , 084

s d = 0 , 00094 5 - 1 = 0 , 015

Agora conseguimos calcular o valor t :

t = 0 , 084 - 0 0 , 015 5 = 12,5

Com 95% de confiança e 4 graus de liberdade:

t c r i t = 2 , 78

Como t > t c r i t , rejeitamos H 0 para um nível de confiança de 95% e concluímos que há diferença entre as médias.

Passo 3

Se chega em diferentes conclusões, porque o nível de significância para o teste t normal é apenas aproximado e o número de graus de liberdade é mais difícil de ser calculado, portanto, a grande variabilidade entre as médias mascara as diferenças entre o topo e o fundo da coluna de água. O pareamento dos dados permite que focalizamos nas diferenças.

Até mais pessoal.

Resposta

  1. Para um nível de confiança de 95% não há diferença entre as médias.
  2. Para um nível de confiança de 95% há diferença entre as médias.
  3. O nível de significância para p teste t normal é apenas aproximado e o número de graus de liberdade é mais difícil de ser calculado, portanto, a grande variabilidade entre as médias mascara as diferenças entre o topo e o fundo da coluna de água. O pareamento dos dados permite que focalizamos nas diferenças.

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