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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

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Enunciado

Regra da Cadeia

Uma função f : R 2 → R diz-se homogênea de grau a ∈ R , se f t X = t a f X para todo X ∈ R 2 \ 0,0 e para todo t ∈ R + .

Suponha que f : R 2 → R é uma função derivável em R 2 \ 0,0 . Mostre que, se f é homogênea de grau a , então < ∇ f X , X >   = a f X , para todo X ∈ R 2 \ 0,0 .

Sugestão: aplicar a regra da cadeia à função ψ t = f t X

Passo 1

Primeiro vamos entender o que ele definiu como função homogênea. O que ele disse é que se multiplicar t por x e y temos como colocar t a em evidência na função.

Outra coisa é lembra que < ∇ f X , X > significa o produto escalar de ∇ f x , y com x , y

Vamos usar a sugestão dele, calcular   ψ ' t , isso significa aplicar a regra da cadeia em f t X

Repara que a função   ψ na verdade é composta de duas funções, umas que é a função f e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função ϕ

ϕ t = t X

Com

X = x , y

E a função f vai ser

ψ = f ∘ ϕ

Passo 2

Vamos começar fazendo J ϕ , mas como é a função ϕ ? Ela vai ser

ϕ : R → R 2

Certo? Temos 3 parâmetros sendo levados em 2 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

ϕ 1 = x t

ϕ 2 = y t

J ϕ = ∂ ϕ 1 ∂ t ∂ ϕ 2 ∂ t

Passo 3

Vamos achar as derivadas

∂ ϕ 1 ∂ t = x

∂ ϕ 2 ∂ t = y

A matriz jacobiana vai ficar

J ϕ = x y

Passo 4

Vamos achar agora a matriz jacobiana de f

Ela vai ser

f : R 2 → R

Certo? Temos 2 parâmetros sendo levados em 1 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

f 1 = f x , y

Como vai ficar o jacobiano?

J f = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y = ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

Lembra que aqui temos que fazer esse jacobiano na outra função, ou seja, o jacobiano vai ficar

J f = ∂ f ∂ x ϕ t ∂ f ∂ y ϕ t = ∂ f ∂ x t x , t y ∂ f ∂ y t x , t y

Passo 5

Vamos agora para a matriz jacobiana de ψ

J ψ = J g ∙ J ϕ

J ψ = ∂ f ∂ x t x , t y ∂ f ∂ y t x , t y ∙ x y = x ∂ f ∂ x t x , t y + y ∂ f ∂ y t x , t y

Se liga num detalhe, lembra que o gradiente da função vai ser

∇ f = ∂ f ∂ x x , y ∂ f ∂ y x , y

Se fizermos a aplicação t x , t y esse gradiente vai ser

∇ f t x , t y = ∂ f ∂ x t x , t y ∂ f ∂ y t x , t y

Então podemos ver esse jacobiano como produto escalar de ∇ f t x , t y com x , y

J ψ = < ∇ f t X , X >

Passo 6

O próximo detalhe é usar o fato que a função é homogênea. Repara que, como a função f é homogênea de grau a ,

ψ t = f t x , t y = t a f x , y

Se derivarmos isso em relação a t vamos ter

ψ ' t = a t a - 1 f x , y

E lembrando que essa derivada vai ser o jacobiano, então, na verdade, temos

J ψ = a t a - 1 f x , y

Igualando isso a equação que achamos no passo 6

a t a - 1 f x , y = < ∇ f t X , X >

Está quase o que ele pediu, a grande diferença é que não temo o t , então malandramente vamos por t = 1

a f x , y = < ∇ f X , X >

Pronto

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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