UFSC, Sem Campus, Cálculo C, Provas Professor Saeger – P2 2022.1, Questão 2
Se , use as propriedades da derivada para mostrar que
Passo 1
Fala galera, bora resolver nosso exercício?
Vamos lá, o grande segredo para a gente conseguir resolver o nosso exercício é lembrar da derivada de uma função modular.
Além disso, também vamos precisar aplicar a regra do produto. Show? Então vamos lá.
Passo 2
Show, o enunciado pede para a gente derivar:
Ok, mas nós estamos trabalhando com uma função modular. E sinceramente? Ela parece ser mais complicada que o normal né? Pois é, mas nós vamos dar uma mexida nela.
Para isso, precisamos relembrar de uma relação de função modular. Vamos pegar o seguinte exemplo, se:
Nós podemos dizer por definição que:
Show? Então vamos aplicar isso na nossa fórmula:
Ok, mas ainda podemos melhorar. Para isso, temos que lembrar que:
Aplicando:
Show né? Vamos derivar a partir desse jeito.
Passo 3
Derivando:
Vamos dar uma arrumada:
Agora vamos voltar a usar o módulo que alteramos no passo 2:
Show, agora vamos aplicar a primeira regra da cadeia, derivando polinômio:
Vamos dar uma arrumada:
Ok, agora temos a segunda regra da cadeia, aonde vamos aplicar a regra do polinômio
Substituindo: