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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

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Enunciado

Funções Vetoriais, Regra da Cadeia, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

  1. Seja g : R 3 → R uma função diferenciável. Calcule a matriz jacobiana da função

    2. h ρ ,   φ , θ = g ρ cos ⁡ θ s i n   φ ,   ρ sin ⁡ θ sin ⁡ φ   ,   ρ cos ⁡ θ

    no ponto 2 , π , π 2 .

  2. Sejam f , g : R 3 → R funções diferenciáveis tais que f x , y , g x , y = 0 para todo x , y ϵ R 2 . Sabendo que g = g x , y ,   f = f ( u , v , w ) e ∂ y ∂ w ( u , v , w ) ≠ 0 , calcule ∂ g ∂ x e ∂ g ∂ y

Passo 1

a) Aqui temos que encontrar a jacobiana da função h , ou seja a matriz das suas primeiras derivadas parciais! Perceba, apenas que a função h é uma composta pela função g e pela função ( ρ cos ⁡ θ s e n   φ ,   ρ   s e n   θ ,   ρ cos ⁡ θ ) . Para ficar mais claro, podemos dizer que:

g = g u , v , w

e que essa outra função vetorial é:

P ρ ,   φ , θ = ( ρ cos ⁡ θ s i n   φ ,   ρ sin ⁡ θ sin ⁡ φ   ,   ρ cos ⁡ θ )

E, assim, a função h é a função P como argumento para a função g ,

h = g P ρ ,   φ , θ =   g ( ρ cos ⁡ θ s i n   φ ,   ρ sin ⁡ θ sin ⁡ φ   ,   ρ cos ⁡ θ )

Espero que tenha ficado mais claro agora :D

Passo 2

Ok, agora que temos as duas funções que formam h , para encontrar sua jacobiana, precisamos encontrar a jacobiana de g , encontrar a de P e depois multiplicar uma pela outra!

Encontrando a jacobiana de g , teremos:

g = g u , v , w

J g u , v , w = g u u , v , w g v u , v , w g w u , v , w

Bem literal né XD nada pra calcular... Vamos encontrar logo a Jacobiana de P ?

P ρ ,   φ , θ = ρ cos ⁡ θ s i n   φ ,   ρ sin ⁡ θ sin ⁡ φ   ,   ρ cos ⁡ θ

Temos 3 variáveis e 3 componentes da função então o jacobiano vai ser

J P ρ , θ , φ = ∂ P 1 ∂ ρ ∂ P 1 ∂ φ ∂ P 1 ∂ θ   ∂ P 2 ∂ ρ ∂ P 2 ∂ φ ∂ P 2 ∂ θ ∂ P 3 ∂ ρ ∂ P 3 ∂ φ ∂ P 3 ∂ θ

J P ρ , φ , θ = cos ⁡ θ se n ⁡ φ ρ cos ⁡ θ cos ⁡ φ - ρ sen ⁡ θ sen ⁡ φ   se n ⁡ θ se n ⁡ φ ρ sen ⁡ θ cos ⁡ φ ρ cos ⁡ θ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 0 - ρ sen ⁡ θ

Show! Já temos as duas matrizes :D

Passo 3

Agora precisamos encontrar o valor para as jacobiana J P no ponto pedido.

A primeira vale:

J g 2 , π , π 2 = g u 2 . - 1.0,2.0 . 1,2 . - 1 g v 2 . - 1.0,2.0 . 1,2 . - 1 g w 2 . - 1.0,2.0 . 1,2 . - 1

J g 2 , π , π 2 = g u 0,0 , - 2 g v 0,0 , - 2 g w 0,0 , - 2

A segunda vale

J P 2 , π , π 2 = cos ⁡ π 2 sen ⁡ π 2 cos ⁡ π 2 cos ⁡ π - 2 sen ⁡ π 2 sen ⁡ π   sen ⁡ π 2 sen ⁡ π 2 sen ⁡ π 2 cos ⁡ π 2 cos ⁡ π 2 sen ⁡ π cos ⁡ π 2 0 - 2 sen ⁡ π 2

J P 2 , π , π 2 = 0 0 0   0 2.1 - 1 0 0 0 - 2.1

J P 2 , π , π 2 = 0 0 0   0 - 2 0 0 0 - 2

Multiplicando, então, pela jacobiana J g no ponto   2 , π , π 2 , teremos:

J h = g u 0,0 , 0 g v 0,0 , 0 g w 0,0 , 0 . 0 0 0   0 - 2 0 0 0 - 2

J h = 0 - 2 g v 0,0 , 0 - 2 g w 0,0 , 0

Passo 4

b) Agora temos que encontrar ∂ g ∂ x e ∂ g ∂ y , certo? Veja, a função g aparece dentro da função f = f u , v , w , ocupando a terceira posição w , tudo bem? Então, para que encontremos g x e g y em função dos dados do enunciado, nada mais justo do que derivar a função f ! Fazendo isso, com certeza poderemos isolar os g x e g y que aparecerem no caminho :D

Sabendo que

f = f u , v , w

Então, aplicando a regra da cadeia para derivar em relação a x , teremos:

f x = δ f δ u u , v , w . δ u δ x + δ f δ v u , v , w . δ v δ x + δ f δ w u , v , w . δ w δ x

Passo 5

Ok, o que fizemos agora foi aplicar a regra da cadeia para uma função de três variáveis, tudo literalmente. Mas ainda temos um dado muito importante, que é:

f x , y , g x , y = 0

Ou seja, na nossa função que derivamos, u = x , v = y e w = g x , y . Derivando cada termo, temos que δ u δ x = 1 , δ v δ x = 0 e que δ w δ x = δ g δ x !

Além disso, como f x , y , g x , y = 0 , então f ' = 0 !

Então,

δ f δ u u , v , w . 1 + δ f δ v u , v , w . 0 + δ f δ w u , v , w . δ g δ x = 0

δ g δ x = - δ f δ u u , v , w δ f δ w u , v , w

Passo 6

Agora vamos fazer exatamente o mesmo para a derivada em relação a y !

Temos, pela regra da cadeia:

f y = δ f δ u u , v , w . δ u δ y + δ f δ v u , v , w . δ v δ y + δ f δ w u , v , w . δ w δ y = 0

Como u = x , v = y e w = g x , y , então δ u δ y = 0 , δ v δ y = 1 e δ w δ y = δ g δ y . Assim,

δ f δ u u , v , w . 0 + δ f δ v u , v , w . 1 + δ f δ w u , v , w . δ g δ y = 0

δ g δ y = - δ f δ v u , v , w δ f δ w u , v , w

Resposta

a)   J h = 0 - 2 g v 0,0 , 0 - 2 g w 0,0 , 0

b) δ g δ x = - δ f δ u u , v , w δ f δ w u , v , w e δ g δ y = - δ f δ v u , v , w δ f δ w u , v , w

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