Desenvolva uma análise de mínimos quadrados dos dados fornecidos pelas duas primeiras colunas da tabela abaixo que representa os dados obtidos na calibração para a determinação cromotográfica do isoctano em uma mistura de hidrocarbonetos

Passo 1

Bom pessoal, quando a questão pede para a gente fazer a análise do método dos mínimos quadrado, isso significa que a gente precisa fazer TUDO. Ou seja, calular a reta, o coeficiente de correlação, as variâncias e os intervalos de confiança.

Vamos começar então pelos médias:

x - = 0,352 + 0,803 + 1,08 + 1,38 + 1,75 5 = 1,07

y - = 1,09 + 1,78 + 2,60 + 3,03 + 4,01 5 = 2,50

Passo 2

Com os valores das médias, conseguiremos calcular tudo que precisamos na nossa tabela para então começar a fazer os nosso cálculos:

Com o auxílio dessa tabela podemos determinar:

S x x = ∑ x i - x - 2 = 1,1454

S y y = ∑ y i - y - 2 = 5,0775

S x y = ∑ x 1 - x - y i - y - = 2,3697

E com isso, já conseguiresmo determinar os coeficientes da reta:

a = S x y S x x = 2,3697 1,1454 = 2,09

b = y - - a x - = 2,50 - 2,09254 × 1,07 = 0,26

Como nossa reta é do tipo:

y = a x + b

Ela será então:

y = 2,09 x + 0,26

Passo 3

Vamos partir agora para o cálculo nosso coeficiente de correlação, R 2 . Para isso, precisaremos de mais uma coluna na nossa tabela, a coluna de S S r e s i d .

Como:

S S r e s i d = ∑ y i - a x i + b 2

Logo:

S S r e s i d = 0 , 0625

O coeficiente de correlação R 2 pode ser calculado através da seguinte fórmula:

R 2 = 1 - S S r e s i d S S t o t

Onde:

S S t o t = S y y = 5,0775

Portanto:

R 2 = 1 - 0 , 0625 5,0775 = 0,98 8

Passo 4

Agora precisaremos calcular as variâncias e os intervalos de confiança do coeficiente angular e do coeficiente linear.

Porém, antes disso, precisaremos da variância da regressão, ela é dada por:

s r = S y y - a 2 S x x N - 2

Substituindo os valores, teremos:

s r = 5,0775 - 2,09 2 × 1,1454 3 = 0,144

Passo 5

Vamos calular agora a variância do coeficiente angular ( a ) :

s a = s r 2 S x x

Substituindo tudo:

s a = 0,144 2 1,1454 = 0,135

Com a variância de a , podemos calcular seu intervalo de confiança, pela fórmula abaixo:

I C a = a ± t ( n - 2 ) s a

Onde t é tem grau de liberdade duas unidades menor que oo número de pontos, ou seja, três. Como o enunciado não determinou o nível de confiança, vamos fazer para 95 % que é o nível de confiança mais usual. O valor de t para grau de liberdade 3 e nível de confiança 95 % é de 3,182 . Portanto, nosso intervalo de confiança será:

I C a = 2,09 ± 3,182 × 0,135 = 2,09 ± 0,43

Passo 6

Vamos fazer o mesmo agora para o coeficiente angular b :

s b = s r ∑ x i 2 N ∑ x i 2 - ∑ x i 2 = s r 1 N - ∑ x i 2 / ∑ x i 2

Substituindo na fórmula:

s b = 0,144 1 5 - 5,37 2 / 6,9020 = 0,158

O intervalo de confiança será portanto:

I C b = b ± t ( n - 2 ) s b

I C b = 0,26 ± 3,182 × 0,158 = 0,26 ± 0,50

Resposta

y = 2,09 x + 0,26

R 2 = 0,988

s r = 0,144

s a = 0,135

s b = 0,158

I C a = 2,09 ± 0,43

I C b = 0,26 ± 0,50

Exercícios Resolvidos de Regressão Linear

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