Na determinação de um fármaco por fluorescência em meio ácido, foram obtidos os seguintes resultados:

  1. Calcule o valor de R 2 e a equação da reta
  2. Considerando que a intensidade de uma amostra foi de 16,1 , calcule o valor de quinina na amostra
  3. Calcule os desvio padrões e os intervalos de confiança a 95 % da inclinação e da interseção da reta.

Passo 1

Para começar, vamos primeiro definir que a concentração de quinina será nosso x e os valores de fluorescência serão o nosso y :

Para fazer a análise dos Mínimos quadrados, também precisamos das médias de x e y , então vamos calculá-las:

x - = 0,00 + 0,10 + 0,20 + 0,30 + 0,40 5 = 0,20

y - = 0,00 + 5,20 + 9,90 + 15,30 + 19,10 5 = 9,90

Passo 2

Além das médias, também é importante calcular os quadrados e os quadrados das diferenças dos valores, assim como suas somas. Sendo assim, vamos expandir nossa tabela de apoio:

Com o auxílio dessa tabela podemos determinar:

S x x = ∑ x i - x - 2 = 0,10

S y y = ∑ y i - y - 2 = 233,90

S x y = ∑ x 1 - x - y i - y - = 4,83

E com isso, já conseguiresmo determinar os coeficientes da reta:

a = S x y S x x = 4,83 0,10 = 48,3

b = y - - a x - = 9,90 - 48,3 × 0,20 = 0,24

Como nossa reta é do tipo:

y = a x + b

Ela será então:

y = 48,3 x + 0,24

Passo 3

Para calcular R 2 precisaremos de mais uma coluna na nossa tabela, a coluna de S S r e s i d :

Como:

S S r e s i d = ∑ y i - a x i + b 2

Logo:

S S r e s i d = 0,61

O coeficiente de correlação R 2 pode ser calculado através da seguinte fórmula:

R 2 = 1 - S S r e s i d S S t o t

Onde:

S S t o t = S y y = 233,90

Portanto:

R 2 = 1 - 0,61 233,90 = 0,997

Passo 4

Caso a intensidade de fluorescência em uma amostra fosse de 16,1 , ou seja, nosso valor de y , para achar a concentração da amostra, precisamos apenas aplicar esse valor na equação da reta encontrada, que foi:

y = 48,3 x + 0,24

16,1 = 48,3 x + 0,24

x = 16,1 - 0,24 16,1 = 0,328   m g   L - 1

Passo 5

Agora devemos calcular o desvio padrão e intervalo de confiança para a inclinação e a interseção. Para calular isso, primeiro precisamos calcular o desvio padrão da regressão ( s r ) conforme a fórmula abaixo:

s r = S y y - a 2 S x x N - 2

Com N = 5 , pois é o número de pontos. Sendo assim, o desvio padrão da regressão será:

s r = 233,90 - 48,3 2 × 0,10 3 = 0,451

Para a inclinação, o desvio padrão será:

s a = s r 2 S x x = 0 , 451 2 0,1 = 1,427

E o intervalo de confiança:

I C a = a ± t ( n - 2 ) s a

Onde t n - 2 é o coeficiente t com grau de liberdade 2 graus menor que o número de pontos e nível de confiança de 95 % . Consultando uma tabela, teremos:

t n - 2 = 3,182

Portanto:

I C a = 48,3 ± 3,182 × 1,427 = 48,3 ± 4,54

Para a interseção, a fórmula do desvio padrão é:

s b = s r 1 N - ∑ x i 2 / ∑ x i 2

Usando os valores da tabela:

s b = 0,451 1 5 - 1 2 / 0,30 = 0,349

E o intervalo de confiança é calculado de maneira análoga:

I C b = b ± t ( n - 2 ) s b

I C b = 0,24 ± 3,182 × 0,349 = 0,24 ± 1,11

Resposta

  1. y = 48,3 x + 0,24
  2. R 2 = 0,99 7

  3. x = 0,38   m g   L - 1
  4. s a = 1,427

I C a = 48,3 ± 4,54

s b = 0,349

I C b = 0,24 ± 1,11

Exercícios Resolvidos de Regressão Linear

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