Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Relações de Maxwell

Ver Teoria
Exercício 12345

Enunciado

Demonstre que:

d S = C V T d T + ∂ P ∂ T V d V

E também que:

d S = C P T d T - ∂ V ∂ T P d P

Passo 1

Vamos de mais uma demonstraçãozinha? Partiu!!

Bom, na verdade são duas demonstrações análogas, né? Vamos começar pela primeira… Vamos começar lembrando que:

d S = ∂ S ∂ T V d T + ∂ S ∂ V T d V

E lembrando que a equação da energia interna, nos diz que:

d U = T d S - P d V

Podemos dizer que:

d S = d U T + P T d V

E ficaremos com:

d S = 1 T ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T d V + P T d V

d S = 1 T ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T + P d V

E lembrando que:

∂ S ∂ T V = C V ∂ S ∂ V T = ∂ U ∂ V T + P

Vamos ficar com:

d S = C V T d T + 1 T ∂ U ∂ V T + P d V

E como:

d A =   - S d T - P d V

∂ S ∂ V T = ∂ P ∂ T V

Vamos ficar, finalmente, com:

d S = C V T d T + ∂ P ∂ T V d V

Show! A primeira demonstração foi feita! Vamos para a segunda!

Passo 2

Agora queremos provar que:

d S = C P T d T - ∂ V ∂ T P d P

Dessa vez vamos por um caminho um pouco diferente, pra vc ver que tem várias formas de provar as relações!

Pra começar, quem é C p ?

C P = ∂ H ∂ T P

Huuum, então na verdade o que a gente quer provar é:

d S = ∂ H ∂ T P T d T - ∂ V ∂ T P d P

Show! A gente pode pegar a relação termodinâmica da entalpia! Parece um bom caminho pra chegar em alguma coisa parecida com essa relação ai!

d H = T d S + V d P

Agora, pra ficar mais parecido ainda, a gente pode dividir todo mundo por d T deixando a pressão constante, igual ao C p !!

∂ H ∂ T P = ∂ S ∂ T P T + ∂ P ∂ T P V

Opaa, derivada de pressão com pressão constante? Podemos zerar isso ai!

∂ H ∂ T P = ∂ S ∂ T P T

Beleza, vamos guardar essa informação um minutinho e vamos pensar na entropia. Sua derivada é uma derivada exata e na relação que queremos provar vemos S como uma função de T e P , certo?

Então podemos escrever a derivada total da entropia!

Só pra a gente refrescar a memória, para escrever a derivada parcial total a gente deriva uma variável, mantendo a outra constante e depois deriva a segunda variável mantendo a primeira constante, nesse caso essas variáveis são T e P , ficamos com:

d S = ∂ S ∂ T P d T + ∂ S ∂ P T d P

Mas: ∂ H ∂ T P = ∂ S ∂ T P T

Substituindo:

d S = ∂ H ∂ T P T d T + ∂ S ∂ P T d P

Huuuum...ta ficando parecido!

Das relações de Maxuell:

∂ S ∂ P T = - ∂ V ∂ T P

Então:

d S = ∂ H ∂ T P T d T - ∂ V ∂ T P d P

Mas lembra que ∂ H ∂ T P é C P ?

d S = C P T d T - ∂ V ∂ T P d P

Show! Arrasamos!

Resposta

Passo 1 e Passo 2.

Exercícios de Livros Relacionados

Duas das quatro relações de Mawell foram deduzidas no texto, mas duas outras não. Complete as deduções, mostrando que ( d S / d V ) T = ( d p / d T ) ve( d T / d p ) s = ( d V / d S ) r .
Use as relações de Maxwell para exprimir as derivadas (a) ( d S / d V ) T e ( d V / d S ) p e (b) ( d p / d S ) v e ( d V / d S ) p em termos do coeficiente de expansão e da compressibilidade isotérmi
O coeficiente de Joule, μ 1 , se define como μ J = ( d T / d V ) U . Mostre que μ J C V = p - a T k T .
Deduza a equação termodinâmica de estado: ( d H d p ) T = V - T ( d V d T ) p Deduza uma expressão de ( d H d p ) T para (a) um gás perfeito e (b) um gás de van der Walls. Neste último caso, estime o
Use as relações de Maxwell para mostrar que a dependência da entropia de um gás perfeito em relação ao volume é da forma S∝ R ln ⁡ V .