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Exercícios Resolvidos de Relações para calores específicos e gases ideias

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Exercício 51234678

Enunciado

A partir da relação fornecida abaixo, obtenha uma outra relação que forneça a variação do calor específico a volume constante com o volume, mantendo a temperatura constante.

d s = c v d T T + ∂ p ∂ T v d v

Dica: Para uma função da forma d z = M d x + N d y podemos achar a segunda derivada como

∂ M ∂ y x = ∂ 2 z ∂ x ∂ y

∂ N ∂ x y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x

Passo 1

O problema da uma dica sobre uma função geral d z . Se observarmos podemos ver que a função

d s = c v d T T + ∂ p ∂ T v d v

Pode ser comparada com a função d z , onde:

  • z = s
  • x = T
  • M = c v T
  • y = v
  • N = ∂ p ∂ T v

Passo 2

Assim como no exercício anterior aqui vamos notar que a segunda derivada das formas ∂ 2 z ∂ x ∂ y e ∂ 2 z ∂ y ∂ x são iguais porque a ordem das parciais no denominador não altera o resultado, sendo assim vamos ter que

∂ M ∂ y x = ∂ N ∂ x y

Passo 3

Agora vamos substituir os valores conforme o passo 1

∂ c v T ∂ v T = ∂ ∂ p ∂ T v ∂ T v

Novamente vamos ajeitar a equação sem realizar nenhum cálculo só para ficar mais bonitinha.

∂ c v / T ∂ v T = ∂ ∂ T ∂ p ∂ T v

Isso é igual a

∂ c v ∂ v T = T ∂ 2 p ∂ T 2 v

Lembre que a temperatura é constante por isso sai da derivada e passa multiplicando para o outro lado e que a derivada de uma derivada é sua derivada segunda.

Resposta

A expressão é dada por:

∂ c v ∂ v T = T ∂ 2 p ∂ T 2 v

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