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Exercícios Resolvidos de Resistividade, Dielétricos e Condutores

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Exercício 51234678910

Enunciado

Um determinado fio tem uma resistência R . Qual é a resistência de um segundo fio, feito do mesmo material, mas que tenha metade do comprimento e metade do diâmetro?

Passo 1

Falaaa aiiii galeraaaa, bora seguir ??

Bom galerinha, nós já aprendemos nosso querido Ohm, enquanto estudava os resistores, se perguntou quais as características deste condutor se relacionariam com este resistência!! E ele descobriu que:

R = ρ L A

Onde ρ é a resistividade do material do qual o resistor é feito, L o comprimento do fio, e A a área da seção transversal deste fio!

Como temos dois resistores com características diferentes nós vamos ter duas fórmulas!

A resistividade só depende do material, se o material é o mesmo a resitividade também é a mesma:

ρ 1 = ρ 2 = ρ

Fazendo a resistência para as duas situações:

R 1 = ρ L 1 A 1

R 2 = ρ L 2 A 2

Vamos isolar a resistividade nestas duas equações, primeiro a área passa multiplicando a resistência:

ρ L 1 = R 1 A 1

ρ L 2 = R 2 A 2

E agora nós passamos o comprimento para o outro lado dividindo:

ρ = R 1 A 1 L 1

ρ = R 2 A 2 L 2

Como as resistividades são iguais, podemos igualar estas duas equações:

R 1 A 1 L 1 = R 2 A 2 L 2

Vamos guardar esta informação no coração!!

Passo 2

Vamos ver como se calcula a área?

A = π r 2

Lembrando que:

r = D 2

Então:

A = π D 2 2 = π D 2 4

Substituindo na fórmula do Passo 1 :

R 1 π D 1 2 4 L 1 = R 2 π D 2 2 4 L 2

Se o termo π 4 está no numerador dos dois lados da igualdade, podemos cancelar:

R 1 D 1 2 L 1 = R 2 D 2 2 L 2

O problema nos disse que o segundo resistor tem metade do comprimento e metade do diâmetro do primeiro, logo

L 2 = L 1 2

D 2 = D 1 2

Substituindo:

R 1 D 1 2 L 1 = R 2 D 1 2 2 L 1 2

Precisamos dar uma ajeitadinha nesses termos, vamos com calma para não errar. Primeiro elevamos o que está ao quadrado

R 1 D 1 2 L 1 = R 2 D 1 2 4 L 1 2

Repare que aquele R 2 está multiplicando o D 1 2 4 , isso significa que podemos escrever como R 2 ⋅ D 1 2 4 no numerador, ficando com

R 1 D 1 2 L 1 = R 2 D 1 2 4 L 1 2

Aplicando a regrinha da divisão de frações, repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda

R 1 D 1 2 L 1 = R 2 D 1 2 4 ⋅ 2 L 1

podemos simplificar o 2 com o 4

R 1 D 1 2 L 1 = R 2 D 1 2 2 L 1

Agora podemos ver alguns termos iguais dos dois lados da equação, a mão chega coça para cortar hahaha. Vamos cortar os D 1 2 e os L 1 dos dois lados da equação

R 1 = R 2 2

Como queremos a resistência do segundo resistor, vamos passar o 2 multiplicando para o outro lado da igualdade:

R 2 = 2 R 1

Ou seja, o segundo resistor terá o dobro da resistência do primeiro!!

E é só isso nesta, vamos continuar?

Resposta

R 2 = 2 R 1