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Exercícios Resolvidos de Síntese de controladores

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Exercício 12345678

Enunciado

Configure um controlador PI que dê uma resposta de primeira ordem em malha fechada para

a seguinte função de transferência em malha aberta:

G P s = K τ s + 1 e - θ s

A resposta desejada é a de primeira ordem com tempo morto.

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem com tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1 e - θ s

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   e - θ s τ c s + 1 1 - e - θ s τ c s + 1

Rearranjando:

G C = e - θ s G P ( τ c s + 1 - e - θ s )

Passo 2

Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:

G P s = K τ s + 1 e - θ s

G C = τ s + 1 K e - θ s e - θ s ( τ c s + 1 - e - θ s )

G C s = τ s + 1 K ( τ c s + 1 - e - θ s )

Agora que chegamos nesse ponto, temos um problema.

O termo exponencial dificulta um pouco nossa vida, e temos que dar um jeito de tirar ele daí.

Uma das possibilidades é fazer a aproximação:

e - θ s = 1 - θ s

Mas preste atenção, essa aproximação é válida apenas para pequenos valores de θ .

Substituindo na nossa FT:

G C s = τ s + 1 K ( τ c s + 1 - 1 + θ s )

G C s = τ s + 1 K ( τ c s + θ s )

G C ( s ) = τ s + 1 K [ ( τ c + θ ) s ]

Passo 3

Vamos agora rearranjar a expressão que encontramos para que ela possa ser comparada à de um controlador PI:

G C s = τ K ( τ c + θ ) 1 + 1 τ s

E a função de transferência genérica do controlador PI é:

G C s = K C 1 + 1 τ i s

Portanto, por comparação:

K C = τ K ( τ c + θ )

τ i = τ

Resposta

K C = τ K ( τ c + θ )

τ i = τ