Exercícios Resolvidos de Síntese de controladores

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Enunciado

Considere que um sistema representado pela seguinte função de transferência função de transferência

G P ( s ) = 0,66 6,7 s + 1

Representa o processo dinâmico do processo + válvula + transmissor. Projete um controlador que resulte em uma função de transferência em malha fechada com resposta de primeira ordem:

C s R s = 1 τ c s + 1

onde τ c é a constante de tempo em malha fechada. Compare o comportamento (em termos de velocidade) do controlador para τ c = 1 e τ c = 5 .

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:

G P ( s ) = 0,66 6,7 s + 1

G C = 6,7 s + 1 0,66 τ c s

Manipulando a expressão acima para ficar parecida com um controlador PI:

G C = 6,7 0,66 τ c 1 + 1 6,7 s

A expressão genérica do controlador PI é:

G C = K C 1 + 1 τ i s

Por comparação, podemos inferir que:

K C = 6,7 0,66 τ c

τ i = 6,7

Passo 3

Através dessa conclusão, podemos ver que o parâmetro τ c afeta apenas o valor do ganho do controlador.

Para τ C = 1 :

K C = 6,7 0,66 = 10,15

Para τ C = 5 :

K C = 6,7 3,3 = 2,03

Isso mostra que um valor grande de ganho, K C , produz um constante de tempo da resposta menor, fazendo com que a resposta fique mais rápida.

Resposta

K C = 6,7 0,66 τ c

τ i = 6,7

Para τ C = 1 (mais rápido):

K C = 6,7 0,66 = 10,15

Para τ C = 5 :

K C = 6,7 3,3 = 2,03