Exercícios Resolvidos de Síntese de controladores

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Enunciado

Sintetize um controlador PID paralelo a partir de um modelo do processo de segunda ordem,

sendo que a resposta desejada é de primeira ordem em malha fechada:

G P s = K τ 2 + 2 τ ζ s + 1

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:

G P s = K τ 2 + 2 τ ζ s + 1

G C = τ 2 + 2 τ ζ s + 1 K 1 τ c s

Precisamos deixar a expressão acima parecida com a de um PID em paralelo:

G C = K C 1 + 1 τ i s + τ d s

Colocando 2 ζ τ K τ c em evidência:

G C = 2 ζ τ K τ c τ 2 ζ s + 1 + 1 2 ζ τ s

Mudando a ordem dos termos entra parênteses:

G C = 2 ζ τ K τ c 1 + 1 2 ζ τ s + τ 2 ζ s

Passo 3

Agora, já podemos comparar a expressão para o controlador que encontramos com a expressão geral do PID em paralelo:

G C = 2 ζ τ K τ c 1 + 1 2 ζ τ s + τ 2 ζ s

G C = K C 1 + 1 τ i s + τ d s

Portanto, as fórmulas de sintonização serão as seguintes:

K C = 2 ζ τ K τ c

τ i = 2 ζ τ

τ d = τ 2 ζ

Resposta

K C = 2 ζ τ K τ c

τ i = 2 ζ τ

τ d = τ 2 ζ