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Exercícios Resolvidos de Síntese de controladores

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Exercício 61234578

Enunciado

Projete um controlador para o seguinte sistema de segunda ordem (teórico):

G P s = 1 2 s + 1 5 s + 1

Use o método de síntese direta que resulte em uma função de transferência em malha fechada com resposta de primeira ordem:

C s R s = 1 τ c s + 1

onde τ c é a constante de tempo em malha fechada. Compare o comportamento do controlador para τ c = 1 e τ c = 5 .

Passo 1

A função de transferência para a malha fechada é dada por:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Manipulando essa expressão para obter uma fórmula de síntese ara G C teremos::

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Como desejamos uma resposta de primeira ordem sem tempo morto, podemos fazer a seguinte substituição:

C s R s = 1 τ c s + 1

Fazendo a substituição, teremos:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Rearranjando:

G C = 1 G P τ c s

Passo 2

Fazendo a ubstiuição da função de transferência da planta dada no enunciado:

G P ( s ) = 1 2 s + 1 5 s + 1

G C ( s ) = ( 2 s + 1 ) ( 5 s + 1 ) τ c s

Vamos rearranjar a expressão encontrada:

G C = 5 τ c 1 + 1 5 s 1 + 2 s

Uma dica: quando tiver um processo de segunda ordem, a constante de tempo que a gente coloca em evidência é sempre a maior entre as duas, nesse caso, o 5 .

Essa expressão pode ser comparada à expressão do PID em série que é dada abaixo:

G C s = K ' C 1 + 1 τ ' i s 1 + τ ' d s  

Por comparação, podemos definir:

K ' C = 5 τ c

τ ' i = 5

τ ' d = 2

Passo 3

Através da comparação, podemos ver que o parâmetro τ c afeta apenas o valor do ganho do controlador.

Para τ C = 1 :

K ' C = 5 1 = 5

Para τ C = 5 :

K ' C = 5 5 = 1

Logo, quanto maior o valor do ganho, menor será a constante de tempo da resposta e consequentemente mais rápido será a resposta do sistema.

Resposta

K ' C = 5 τ c

τ ' i = 5

τ ' d = 2

Para τ C = 1 (mais rápido):

K ' C = 5

Para τ C = 5 :

K ' C = 1