Aproxima a seguinte equação diferencial de segunda ordem por uma equação discreta no tempo.
Passo 1
O primeiro tempo é transformar todas as funções contínuas no tempo em funções discretas.
As funções e é só mudar diretão mesmo:
Para transformar as derivadas teremos que pensar um pouquinho mais, primeiramente vamos lembrar a definição de derivada:
Ou seja, a diferença entre uma função num certo tempo e essa mesma função num pequeno espaço de tempo anterior dividido por esse espaço de tempo.
Se formos aplicar isso num sistema discreto, o menor espeaço de tempo que podemos ter é o intervalo entre uma medida e outra. O será portanto o período de discretização, isto é, o tempo que o sistema leva para tomar as medidas:
Para a derivada segunda, devemos fazer o que fizemos para a derivada primeira duas vezes:
Se rearranjarmos:
Passo 2
Vamos agora substituir tudo que encontramos na equação diferencial do enunciado:
Multiplicando toda a equação por , teremos:
Por fim, rearranjando: