Um sistema de tempo discreto é definido pela seguinte equação de diferenças:

1. Esse sistema é causal? Justifique
2. Esse sistema tem memória? Justifique
3. Esse sistema é linear? Justifique
4. O sistema é invariante no tempo? Justifique

Sistema com memória é aquele que depende de valores “atrasados”, seja de entrada ou de saída.

Nesse caso, temos aqui que depende diretamente de , portanto, o sistema tem memória.

A melhor forma de ver se o sistema é linear ou não e supondo valores e testanto.

Por exemplo, primeiramente vamos deixer que:

Com esses valores, teremos:

Agora vamos supor:

Com esses valores, teremos:

Até aqui, a gente só chutou números né, agora vem o teste em si. Para atender ao teste da aditividade, o seguinte tem que ser verdadeiro:

Ou seja, vamos calular novamente a função, agora somando os valores:

`Portanto:

Para atender ao critério:

Portanto, não é linear pois não atendeu ao critério da aditividade.

Podemos fazer o teste também pelo critério da homogeneidade. Através desse critério se multiplicarmos as entradas por um fator, a saída também precisa ser multiplicada pelo mesmo fator.

Voltando ao primeiro exemplo, nós tínhamos:

E isso gerou:

Pelo critério da homogeinidade, se as entradas forem dobradas, a saída também deverá ser dobrada. Vamos ver se isso acontece:

Assim teremos:

Ou seja, o sistema não atende nem ao critério da homogeinidade nem ao da aditividade, e portanto, não é linear.

Por fim, precisamos apenas checar se ele é invariante no tempo.

Isso quer dizer que se atrasrmos ou adiantarmos as entradas uma certa quantidade, a saída deverá ser adianta ou atrasada igualmente.

Se atrasarmos as entradas em uma unidade teremos:

O sistema é então invariante no tempo.

Sistemas não invariantes geralmente são aqueles que dependem do próprio termo, por exemplo:

Esse do lado de fora, torna o sistema não invariante, o que não é o caso do sistema do nosso enunciado.