Seja a população de um certo país no começo do n-ésimo ano. As taxas de nascimento e mortalidade da população durante qualquer ano são e respectivamente. Se é o número total de imigrantes entrando no país durante o enésimo ano, escreva a equação relacionando , e . Assuma que os imigrantes entram no país ao longo do ano em uma taxa uniforme.
Passo 1
Precisamos encontrar a expressão que melhor descreve esse modelo populacional.
Antes de começar a escrever a matemática do problema, vamos pensar melhor nele. Todo ano nesse país, um certo número de pessoas morres, um certo número de pessoas nascem e além disso, novas pessoas chegam do exterior.
Sendo assim, podemos afirmar que a diferença de população de um ano para o outro será igual ao número de pessoas que nascem, menos o núemero de pessoas que morrem mais o número de pessoas que imigram para esse país.
Passo 2
Vamos começar a substituir cada parcela dessa pelos seus termos matemáticos.
A variação da população, pode ser escrita como a diferença da população de um ano em relação ao ao anterior. Ou seja:
Também poderíamos escrever como:
Mas como o enunciado pede que a expressão relacione , vamos manter da primeira forma.
Estamos assim então:
Passo 3
Os nascimentos e mortes são dados no enunciado, e dependem do valor da população do ano atual.
Substituindo na expressão:
Por fim, o número de imigrantes que chegam ao país é uma constante, que pode ser expressa como:
Sendo assim:
Passo 4
Como temos alguns termos que dependem de , podemos juntar tudo em um só: