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Exercícios Resolvidos de Sistemas multivariável

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Exercício 61234578

Enunciado

Dado o sistema multivariável mostrado abaixo, onde y 1 e y 2 são as respostas e x 1 e x 2 são as entradas. Calcule μ 11 .

y 1 = 2 x 1 + x 2

y 2 = x 1 + 4 x 2

Sabe-se que os valores no estado estacionário são:

x 1 - = 2

x 2 - = 1

Passo 1

Primeiramente vamos calcular o valor das respostas em estado estacionário. Substituindo x 1 - e x 2 - teremos:

y 1 - = 5

y 2 - = 6

Passo 2

Como:

μ 11 = K 11 K 11 '

Precisamos calcular os dois ganhos, o de malha aberta e o de malha fechada.

O ganho K 11 é a relação entre a variação da saída y 1 com a entrada x 1 quando x 2 é constante.

Ou seja:

y 1 = 2 x 1 + x 2

Vamos considerar uma variação unitária para x 1 e manteremos x 2 constante. Portanto:

x 1 = 3

x 2 = x 2 - = 1

Assim teremos:

y 1 = 7

Portanto o ganho K 11 será:

K 11 = Δ y 1 Δ x 1 = 7 - 5 3 - 2 = 2

Passo 3

Agora vamos calcular o ganha em malha fechada K 11 ' que é a relação entre a variação de y 1 e x 1 quando y 2 é constante.

Vamos novamente fazer uma variação unitária em x 1 , mas temos que ver qual será a variação sofrida por x 2 para que y 2 fique constante:

y 2 = x 1 + 4 x 2

Com:

x 1 = 3

y 2 = y 2 - = 6

Teremos :

x 2 = 3 4

Jogando na expressão para y 1 teremos:

y 1 = 2 x 1 + x 2

y 1 = 27 4

Calculando K 11 ' :

K 11 ' = Δ y 1 Δ x 1 = 27 4 - 5 3 - 2 = 1,75

Passo 4

Por fim, vamos calcular o ganho relativo:

μ 11 = K 11 K 11 ' = 2 1,75 = 1,14

Resposta

μ 11 = 1,14