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Exercícios Resolvidos de Sistemas multivariável

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Exercício 51234678

Enunciado

Dado o sistema multivariável mostrado abaixo, onde y 1 e y 2 são as respostas e x 1 e x 2 são as entradas. Calcule μ 12 .

y 1 = 1 2 x 1 - x 2

y 2 = 1 3 x 1 + x 2

Sabe-se que os valores no estado estacionário são:

x 1 - = 6

x 2 - = 1

Passo 1

Primeiramente vamos calcular o valor das respostas em estado estacionário. Substituindo x 1 - e x 2 - teremos:

y 1 - = 2

y 2 - = 3

Passo 2

Como:

μ 12 = K 12 K 1 2 '

Precisamos calcular os dois ganhos, o de malha aberta e o de malha fechada.

O ganho K 1 2 é a relação entre a variação da saída y 1 com a entrada x 2 quando x 1 é constante.

Ou seja:

y 1 = 1 2 x 1 - x 2

Vamos considerar uma variação unitária para x 2 e manteremos x 1 constante. Portanto:

x 1 = x 1 - = 6

x 2 = 2

Assim teremos:

y 1 = 1

Portanto o ganho K 1 2 será:

K 1 2 = Δ y 1 Δ x 2 = 1 - 2 2 - 1 = - 1

Passo 3

Agora vamos calcular o ganha em malha fechada K 1 2 ' que é a relação entre a variação de y 1 e x 2 quando y 2 é constante.

Vamos novamente fazer uma variação unitária em x 1 , mas temos que ver qual será a variação sofrida por x 2 para que y 2 fique constante:

y 2 = 1 3 x 1 + x 2

Com:

x 2 = 2

y 2 = y 2 - = 3

Teremos :

x 1 = 3

Jogando na expressão para y 1 teremos:

y 1 = 1 2 x 1 - x 2

y 1 = - 0,5

Calculando K 11 ' :

K 11 ' = Δ y 1 Δ x 1 = - 0,5 - 2 3 - 2 = - 2,5

Passo 4

Por fim, vamos calcular o ganho relativo:

μ 1 2 = K 11 K 11 ' = - 1 - 2,5 = 0,4

Resposta

μ 12 = 0 , 4