(Adaptado) Um chip, com base quadrada de lado L = 5   m m e espessura t = 1   m m , é montado em um substrato. O substrato comporta-se como um isolante ideal. O chip é resfriado por convecção forçada de ar através da sua superfície superior, que é a única não isolada pelo substrato.

A temperatura do ar é 20 ° C e o coeficiente de transferência de calor é 150   W / m 2 K . O chip encontra-se inicialmente desligado e em equilíbrio com o ar. Quando o chip é ligado, energia é gerada uniformemente em seu interior com uma taxa volumétrica q ˙ = 9 × 10 6   W / m 3 .

Forneça:

i Formulação matemática do problema.

i i Solução analítica.

Passo 1

i Formulação matemática do problema.

Para chegar à formulação matemática, vamos partir da equação de calor, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Vamos fazer as seguintes considerações:

  • Condução de calor unidimensional;
  • Condução transiente;
  • Propriedades constantes;

Assim, a equação de calor pode ser escrita da seguinte forma:

k ∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ k = ρ c p k ∂ T ∂ t

Para condição inicial, o problema nos disse que o chip encontra-se inicialmente em equilíbrio com o ar, assim:

Como condições de contorno, o problema nos disse que uma das superfícies está termicamente isolada x = 0 , e há troca de calor por convecção com o ar na outra superfície x = L .

Assim:

Passo 2

i i Solução analítica.

Nós vamos dividir a solução em uma solução homogênea (que vamos calcular a partir das soluções tabeladas) e uma solução particular (não-homogênea, que teremos que resolver), que depende somente de x .

Assim:

T x , t = T h x , t + T p x , t

Aplicando isso à nossa formulação matemática, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 + ∂ 2 T p ∂ x 2 + q ˙ k = 1 α ∂ T h ∂ t d T h d x + d T p d x = 0 p a r a   x = 0 k d T h d x + h T h + k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = L T h = T ∞ p a r a   t = 0

Separando os dois problemas, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t d T h d x = 0 p a r a   x = 0 k d T h d x + h T h = 0 p a r a   x = L T h = T ∞ p a r a   t = 0

∂ 2 T p ∂ x 2 + q ˙ k = 0 d T p d x = 0 p a r a   x = 0 k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = L

Passo 3

Começando pela solução homogênea:

∂ 2 T h ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t d T h d x = 0 p a r a   x = 0 k d T h d x + h T h = 0 p a r a   x = L T h = T ∞ p a r a   t = 0

Pelas condições de contorno, este corresponde ao caso 6 da nossa tabela, onde:

ψ λ n , x = cos ⁡ λ n x

1 N = 2 λ n 2 + H 2 L λ n 2 + H 2 + H

Sendo λ n as raízes da seguinte expressão:

λ n tg ⁡ λ n L = H

Sendo H = h / k . Assim, a solução homogênea será dada por:

T h x , t = ∑ n = 1 ∞ 1 N . exp ⁡ - α . λ n 2 t . ψ λ n , x . ∫ 0 L F x . ψ λ n , x . d x

T h x , t = ∑ n = 1 ∞ 2 λ n 2 + H 2 L λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t cos ⁡ λ n x ∫ 0 L T ∞ cos ⁡ λ n x . d x

Agora é arrumar a casa:

T h x , t = 2 T ∞ L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t cos ⁡ λ n x ∫ 0 L cos ⁡ λ n x . d x

Vamos resolver essa integral separadamente:

I = ∫ 0 L cos ⁡ λ n x . d x

I = sen ⁡ λ n x λ n 0 L

I = sen ⁡ λ n L λ n

Finalmente, a solução homogênea será:

T h x , t = 2 T ∞ L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H L exp ⁡ - α . λ n 2 t cos ⁡ λ n x sen ⁡ λ n L λ n

Onde λ n é a raiz de:

λ n tg ⁡ λ n L = H

A partir da expressão acima, podemos chegar à expressão de sen ⁡ λ n L da seguinte forma:

λ n tg ⁡ λ n L = H → tg ⁡ λ n L = H λ n

A partir dessa expressão da tangente, podemos pensar no seguinte triângulo retângulo:

Onde:

sen ⁡ λ n L = H H 2 + λ n 2

Finalmente:

Passo 4

Para a solução particular, temos que:

∂ 2 T p ∂ x 2 + q ˙ k = 0 d T p d x = 0 p a r a   x = 0 k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = L

Integrando uma vez a equação duas vezes, temos que:

d T p d x = - q ˙ k x + C 1

T p x = - q ˙ 2 k x 2 + C 1 x + C 2

Aplicando à primeira condição de contorno, para x = 0 :

d T p d x = 0

- q ˙ k × 0 + C 1 = 0

C 1 = 0

Assim:

d T p d x = - q ˙ k x

T p x = - q ˙ 2 k x 2 + C 2

Aplicando a segunda condição de contorno, para x = L :

k d T p d x + h T p = h T ∞

k - q ˙ k L + h - q ˙ 2 k L 2 + C 2 = h T ∞

C 2 = T ∞ + q ˙ L h + q ˙ L 2 2 k

Substituindo a expressão de C 2 que acabamos de encontrar:

T p x = - q ˙ 2 k x 2 + T ∞ + q ˙ L h + q ˙ L 2 2 k

Passo 5

Finalmente, a solução analítica do problema será:

T x , t = T h x , t + T p x , t

Substituindo as soluções:

Resposta

i

∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ k = 1 α ∂ T ∂ t T x , t = T ∞ t = 0 d T d x = 0 p a r a   x = 0 k d T d x + h T = h T ∞ p a r a   x = L

i i

T x , t = 2 T ∞ L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H . exp ⁡ - α . λ n 2 t . cos ⁡ λ n x . 1 λ n . H H 2 + λ n 2 + q ˙ 2 k L 2 - x 2 + q ˙ L h + T ∞

Exercícios Resolvidos de Soluções Tabeladas para Condução Transiente

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