Considere condução de calor transiente e unidimensional em uma placa plana com propriedades constante e espessura L .

A placa, que se encontra inicialmente na temperatura uniforme T i , troca calor através de sua superfície em x = 0 por convecção com um meio na temperatura T ∞ com coeficiente de transferência de calor h .

A superfície em x = L é mantida na temperatura constante T L . Sabendo-se que a geração de energia na placa é nula, forneça para este problema:

i Formulação matemática.

i i Solução analítica.

Passo 1

i Formulação matemática.

Para chegar à formulação matemática, vamos partir da equação de calor, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Vamos fazer as seguintes considerações:

  • Condução de calor unidimensional;
  • Condução transiente;
  • Propriedades constantes;
  • Não há geração térmica.

Assim, a equação de calor pode ser escrita da seguinte forma:

k ∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p ∂ T ∂ t

∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p k ∂ T ∂ t

Para condição inicial, o problema nos disse que:

Como condições de contorno, o problema nos disse que a superfície em x = 0 troca calor por convecção e a superfície em x = L é mantida à temperatura constante T L .

Assim:

Passo 2

i i Solução analítica.

Para encontrar a solução analítica, vamos partir do princípio que o problema possui uma solução homogênea (a qual vamos calcular a partir das soluções tabeladas) e uma solução particular (não-homogênea, que teremos que resolver), que depende somente de x .

Assim:

T x , t = T h x , t + T p x , t

Aplicando isso à nossa formulação matemática, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 + ∂ 2 T p ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t - k d T h d x + h T h - k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = 0 T h + T p = T L p a r a   x = L T h = T i p a r a   t = 0

Separando os dois problemas, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t - k d T h d x + h T h = 0 p a r a   x = 0 T h = 0 p a r a   x = L T h = T i p a r a   t = 0

∂ 2 T p ∂ x 2 = 0 - k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = 0 T p = T L p a r a   x = L

Passo 3

Começando pela solução homogênea:

∂ 2 T h ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t - k d T h d x + h T h = 0 p a r a   x = 0 T h = 0 p a r a   x = L T h = T i p a r a   t = 0

Pelas condições de contorno, este corresponde ao caso 7 da nossa tabela, onde:

ψ λ n , x = sen ⁡ λ n L - x

1 N = 2 λ n 2 + H 2 L λ n 2 + H 2 + H

Sendo λ n as raízes da seguinte expressão:

λ n cot ⁡ λ n L = - H

Sendo H = h / k . Assim, a solução homogênea será dada por:

T h x , t = ∑ n = 1 ∞ 1 N . exp ⁡ - α . λ n 2 t . ψ λ n , x . ∫ 0 L F x . ψ λ n , x . d x

T h x , t = ∑ n = 1 ∞ 2 λ n 2 + H 2 L λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x ∫ 0 L T i sen ⁡ λ n L - x . d x

Agora é arrumar a casa:

T h x , t = 2 T i L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x ∫ 0 L sen ⁡ λ n L - x . d x

Vamos resolver essa integral separadamente:

I = ∫ 0 L sen ⁡ λ n L - x . d x

I = cos ⁡ λ n L - x λ n 0 L

I = 1 - cos ⁡ λ n L λ n

Finalmente, a solução homogênea será:

T h x , t = 2 T i L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x 1 - cos ⁡ λ n L λ n

Onde λ n é a raiz de:

λ n cot ⁡ λ n L = - H

A partir da expressão acima, podemos chegar à expressão de sen ⁡ λ n L da seguinte forma:

λ n cot ⁡ λ n L = - H → cot ⁡ λ n L = - H λ n

A partir dessa expressão da tangente, podemos pensar no seguinte triângulo retângulo:

Onde:

cos ⁡ λ n L = H H 2 + λ n 2

Finalmente:

Passo 4

Para a solução particular, temos que:

∂ 2 T p ∂ x 2 = 0 - k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = 0 T p = T L p a r a   x = L

Integrando uma vez a equação duas vezes, temos que:

d T p d x = C 1

T p x = C 1 x + C 2

Aplicando à primeira condição de contorno, para x = 0 :

- k d T p d x + h T p = h T ∞

- k . C 1 + h . C 1 × 0 + C 2 = h T ∞

- k . C 1 + h . C 2 = h T ∞

C 2 = T ∞ + k h . C 1

Aplicando a segunda condição de contorno, para x = L :

C 1 L + C 2 = T L

Substituindo a expressão de C 2 que acabamos de encontrar:

C 1 L + T ∞ + k h . C 1 = T L

C 1 = T L - T ∞ h L + k

A constante C 2 será:

C 2 = T L - C 1 L

C 2 = T L - T L - T ∞ h L + k L

Dessa forma, a solução particular será:

T p x = C 1 x + C 2

T p x = T L - T ∞ h L + k x + T L - T L - T ∞ h L + k L

Passo 5

Finalmente, a solução analítica do problema será:

T x , t = T h x , t + T p x , t

Substituindo as soluções:

Resposta

i

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

T x , t = T i p a r a   t = 0

- k d T d x + h T = h T ∞ p a r a   x = 0

T x , t = T L p a r a   x = L

i i

T x , t = 2 T i L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x 1 λ n H H 2 + λ n 2 + T L + T L - T ∞ h L + k   x - L

Exercícios Resolvidos de Soluções Tabeladas para Condução Transiente

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