Considere condução de calor transiente e unidimensional em uma placa plana com propriedades constante e espessura .
A placa, que se encontra inicialmente na temperatura uniforme , troca calor através de sua superfície em por convecção com um meio na temperatura com coeficiente de transferência de calor .
A superfície em é mantida na temperatura constante . Sabendo-se que a geração de energia na placa é nula, forneça para este problema:
Formulação matemática.
Solução analítica.
Passo 1
Formulação matemática.
Para chegar à formulação matemática, vamos partir da equação de calor, dada por:
Vamos fazer as seguintes considerações:
- Condução de calor unidimensional;
- Condução transiente;
- Propriedades constantes;
- Não há geração térmica.
Assim, a equação de calor pode ser escrita da seguinte forma:
Para condição inicial, o problema nos disse que:
Como condições de contorno, o problema nos disse que a superfície em troca calor por convecção e a superfície em é mantida à temperatura constante .
Assim:
Passo 2
Solução analítica.
Para encontrar a solução analítica, vamos partir do princípio que o problema possui uma solução homogênea (a qual vamos calcular a partir das soluções tabeladas) e uma solução particular (não-homogênea, que teremos que resolver), que depende somente de .
Assim:
Aplicando isso à nossa formulação matemática, teremos:
Separando os dois problemas, teremos:
Passo 3
Começando pela solução homogênea:
Pelas condições de contorno, este corresponde ao caso 7 da nossa tabela, onde:
Sendo as raízes da seguinte expressão:
Sendo . Assim, a solução homogênea será dada por:
Agora é arrumar a casa:
Vamos resolver essa integral separadamente:
Finalmente, a solução homogênea será:
Onde é a raiz de:
A partir da expressão acima, podemos chegar à expressão de da seguinte forma:
A partir dessa expressão da tangente, podemos pensar no seguinte triângulo retângulo:
Onde:
Finalmente:
Passo 4
Para a solução particular, temos que:
Integrando uma vez a equação duas vezes, temos que:
Aplicando à primeira condição de contorno, para :
Aplicando a segunda condição de contorno, para :
Substituindo a expressão de que acabamos de encontrar:
A constante será:
Dessa forma, a solução particular será:
Passo 5
Finalmente, a solução analítica do problema será:
Substituindo as soluções:
Resposta