(Adaptada) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
em que é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 20°C, com e . Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido.
Passo 1
Eu sei... esse enunciado pode parecer um pouco assustador de primeira, mas eu te trago ótimas notícias:
Finalmente chegou a sua hora de brilhar e calcular a tensão de cisalhamento! =D Tamo junto nessa!
E qual o segredo? Bem, para esse primeiro momento, vamos precisar da tensão cisalhante, da viscosidade e da taxa de deformação. Como se trata da água, que é fluido newtoniano, vale a Lei de Newton da Viscosidade:
Vejamos... a viscosidade da água a 20°C tem um valor certo. Além disso, o enunciado deu o perfil de velocidade. Então, para achar a tensão cisalhante, precisamos derivar esse perfil de velocidade aí em relação a y. Bora?
Passo 2
Vamos encontrar a taxa de deformação . Para isso, vamos derivar o perfil de velocidade, esse cara aqui:
Vamos derivar esse perfil em relação a . Mas antes vamos dar uma organizada nessa equação aí:
Agora sim! Lembrando que é a velocidade máxima e é uma constante. é a distância que separa as duas placas, então também é uma constante. Então, derivando u em relação a y:
Organizando melhor:
Bem, então se a gente souber o valor dessas constantes e , vamos finalmente conhecer a taxa de deformação . A boa notícia é: o enunciado já deu esses valores! São e .
Para substituir, precisamos passar tudo para o Sistema Internacional. A velocidade já está em metros por segundo. Só falta colocar a altura em metros:
Substituindo:
Opa! Encontramos a taxa de deformação!
Passo 3
Para achar a tensão cisalhante, vamos substituir a expressão que encontramos para a taxa de deformação na Lei de Newton da Viscosidade:
Substituindo:
Lembrando que a viscosidade da água é
Encontramos então uma expressão para a tensão cisalhante.
Passo 4
Calculamos a tensão cisalhante. Tá faltando alguma coisa? Repara que o enunciado pediu para calcular a tensão cisalhante na placa superior. Ou seja, precisamos substituir o que corresponde à posição da placa superior nessa expressão de que encontramos no passo 3.
Em matematiquês:
E quem é o ?
Voltando ao enunciado, lá diz que a “origem está na linha mediana entre as placas”. E lembrando que a distância entre as placas é . A figura ilustra a situação:
Repara que a gente definiu como “positivo” pra cima e pra direita 😉
Substituindo
Encontramos o que o exercício pediu! A tensão de cisalhamento na placa superior é .
Na figura vemos que o sentido positivo é para a direita. Como encontramos a tensão com sinal negativo, podemos concluir que o sentido da tensão é para a esquerda. Eu não falei que era seu momento de brilhar?
Resposta
Sentido: da direita para a esquerda