Exercícios Resolvidos de Tensão cisalhante e tipos de fluidos

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Enunciado

A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por

u u m á x = 1 - 2 y h 2

em que h é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 20°C com velocidade máxima de 0,05   m / s e h   =   0,1   m m . Calcule a força sobre uma seção de 1m² da placa inferior e dê o seu sentido.

Passo 1

Esse exercício tem o enunciado parecido com o anterior. Mas tem duas diferenças principais!

A primeira é que agora o exercício está pedindo a força ao invés da tensão de cisalhamento. Além disso, o valor da velocidade máxima mudou, agora é u m á x = 0,05   m / s

Como resolver então? A estratégia vai ser parecida com a do exercício anterior, porém teremos mais um passo.

Primeiro, precisamos encontrar a taxa de deformação d u d y derivando o perfil de velocidade.

Depois, usando a Lei de Newton da Viscosidade (já que o fluido é newtoniano), vamos calcular a tensão cisalhante.

τ x y = μ d u d y

E como tensão é força sobre área, no último passo vamos calcular a força com essa fórmula:

τ x y = F A

Então vamos nessa!

Passo 2

Para encontrar a taxa de deformação d u d y , vamos derivar o perfil de velocidade dado no enunciado:

u u m á x = 1 - 2 y h 2

Organizando a equação:

u = u m á x 1 - 2 y h 2

u = u m á x - 4 u m á x h 2 y 2

Como u m á x e h são constantes, podemos derivar u em relação a y:

d u d y = - 2 4 u m á x h 2 y

Organizando:

d u d y = - 8 u m á x h 2 y

Substituindo u m á x = 0,05   m / s e h   =   0,1   m m =   10 - 4   m

d u d y = - 8   × 0,05 10 - 4 2 y

d u d y = - 4   × 10 7 y

Opa! Encontramos a taxa de deformação!

Passo 3

Para achar a tensão cisalhante, vamos substituir a expressão que encontramos para a taxa de deformação na Lei de Newton da Viscosidade:

τ x y = μ d u d y

Substituindo:

d u d y   =   - 4   × 10 7 y

τ x y = μ × - 4   × 10 7 y

Lembrando que a viscosidade da água é μ =   10 - 3   P a . s

τ x y = - 10 - 3 × 4   × 10 7 y

τ x y = - 4 × 10 4 y

Expressão para tensão cisalhante encontrada!

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a tensão cisalhante na placa inferior, que é onde o enunciado quer saber a força, lembra?

Para isso, precisamos saber qual é o y p l a c a   i n f e r i o r

A figura desse exercício é a mesma do anterior. Só que agora, queremos achar a tensão na placa de baixo.

Substituindo y p l a c a   i n f e r i o r = -   0,00005   m

τ x y ,   p l a c a   i n f e r i o r = - 4   × 10 4 × - 5   × 10 - 5

τ x y ,   p l a c a   i n f e r i o r = 2   N / m 2

Opa! Agora estamos quase lá. Lembra que esse exercício pediu a força e não a tensão. Então, vamos para o próximo passo!

Passo 5

Aprendemos na teoria que uma tensão é a razão entre força e área, certo?

τ x y = F A

Então, isolando a força:

F =   τ x y × A

E enunciado pede o valor da força numa seção de área igual a 1m² da placa inferior. Ou seja, A   =   1   m ²

Então:

F s e ç ã o   A   d a   p l a c a   i n f e r i o r =   τ x y   p l a c a   i n f e r i o r × A s e ç ã o

Substituindo:

F =   2 × 1

F =   2   N

Opa, encontramos a força! E qual é seu sentido? Como o resultado deu positivo e definimos na figura positivo sendo da esquerda para a direita. Então o sentido da Força é da esquerda para a direita.

Resposta

F s e ç ã o   A   d a   p l a c a   i n f e r i o r = 2   N

Sentido: da esquerda para a direita

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