A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
em que é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 20°C com velocidade máxima de e . Calcule a força sobre uma seção de 1m² da placa inferior e dê o seu sentido.
Passo 1
Esse exercício tem o enunciado parecido com o anterior. Mas tem duas diferenças principais!
A primeira é que agora o exercício está pedindo a força ao invés da tensão de cisalhamento. Além disso, o valor da velocidade máxima mudou, agora é
Como resolver então? A estratégia vai ser parecida com a do exercício anterior, porém teremos mais um passo.
Primeiro, precisamos encontrar a taxa de deformação derivando o perfil de velocidade.
Depois, usando a Lei de Newton da Viscosidade (já que o fluido é newtoniano), vamos calcular a tensão cisalhante.
E como tensão é força sobre área, no último passo vamos calcular a força com essa fórmula:
Então vamos nessa!
Passo 2
Para encontrar a taxa de deformação , vamos derivar o perfil de velocidade dado no enunciado:
Organizando a equação:
Como e são constantes, podemos derivar u em relação a y:
Organizando:
Substituindo e
Opa! Encontramos a taxa de deformação!
Passo 3
Para achar a tensão cisalhante, vamos substituir a expressão que encontramos para a taxa de deformação na Lei de Newton da Viscosidade:
Substituindo:
Lembrando que a viscosidade da água é
Expressão para tensão cisalhante encontrada!
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a tensão cisalhante na placa inferior, que é onde o enunciado quer saber a força, lembra?
Para isso, precisamos saber qual é o
A figura desse exercício é a mesma do anterior. Só que agora, queremos achar a tensão na placa de baixo.
Substituindo
Opa! Agora estamos quase lá. Lembra que esse exercício pediu a força e não a tensão. Então, vamos para o próximo passo!
Passo 5
Aprendemos na teoria que uma tensão é a razão entre força e área, certo?
Então, isolando a força:
E enunciado pede o valor da força numa seção de área igual a 1m² da placa inferior. Ou seja,
Então:
Substituindo:
Opa, encontramos a força! E qual é seu sentido? Como o resultado deu positivo e definimos na figura positivo sendo da esquerda para a direita. Então o sentido da Força é da esquerda para a direita.
Resposta
Sentido: da esquerda para a direita